f(x) 在 x0 可导，an＜x0＜bn，liman=limbn=x0，则 lim[f(bn)-f(an)]/(bn-an)=f'(x0)

xfhaoym

有没有简单一点的办法？

elim

对\(\,\varepsilon>0,\,\)有\(\,N\in\mathbb{N}\,\)使\(\,n>N\) 时有
\(\,f'(x_0)-\varepsilon < {\large\frac{f(b_n)-f(x_0)}{b_n-x_0}}< f'(x_0)+\varepsilon\) 且
\(\,f'(x_0)-\varepsilon < {\large\frac{f(x_0)-f(a_n)}{x_0-a_n}}< f'(x_0)+\varepsilon\)
故  \(\,f'(x_0)-\varepsilon < {\large\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}}< f'(x_0)+\varepsilon\)
即 \(\left|{{\large\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}}}-f'(x_0)\right|< \varepsilon\;(n>N)\)

elim

引理: \((u< \frac{a}{b},\frac{c}{d}< v)\wedge(b,d>0)\implies(u< \frac{a+c}{b+d}< v)\)
证: 将 \(bu< a< bv,\; du< c < dv\,\)相加得 \((b+d)u < a+c < (b+d)v.\quad\square\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

xfhaoym

谢谢elim老师．原解老师要求有四个预备知识：