一个“概念不清、地动山摇”的数学案例分析

luyuanhong

一个“概念不清、地动山摇”的数学案例分析

作者 | 高宏

数学概念是人脑对客观事物的数量关系和空间形式的思维反映。数学概念虽然远离了直观的经验世界，但却更深刻地反映了客观世界的本质。数学学科通常运用定义的形式来明确数学概念的内涵——对象 “质”的特征，及其外延——对象 “量”的范围。

数学概念是建立数学理论和其它科学理论的基石，如果对数学概念所表达的内涵和外延出现误解和误用，则建立的科学理论就像基础不牢的高楼大厦一样，迟早会发生地动山摇般的坍塌。

写出大量优秀数学科普作品而响誉世界的英国数学家斯图尔特（Stewart）在《改变世界的17个公式》一书中，介绍了对人类社会发展影响最大的17个公式，但同时指出：B-S期权定价公式不仅改变了世界，创造了一个金额难以估量的金融衍生品市场，而且也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃。



被誉为中国金融数学第一人、获得2020未来科学大奖“数学与计算机科学奖”的彭实戈院士，在科技部基础研究司编写的《中国基础研究发展报告（2019年）》中也明确指出：Black-Scholes 期权定价理论是造成以前历次重大金融危机的关键性原因。

本文将分析B-S期权定价公式因混淆“样本函数”和“随机变量”基本概念，而导致1987、1998和2007年三次重大金融危机的来龙去脉。

一、布朗运动理论

1827 年，英国植物学家布朗使用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时，发现微粒总是在做无规则的运动。后来人们发现，这是一种广泛存在于自然界、工程技术和人类社会中的动态随机现象，如空气污染扩散、陀螺随机游走和股票价格波动等。



1905年，爱因斯坦首先使用概率分析方法对布朗运动进行了定量研究，为统计热力学和随机过程理论的发展奠定了基础。

爱因斯坦认为布朗运动是由大量液体水分子的连续碰撞造成的，并从热分子运动扩散方程推导出了大量一维布朗粒子的位置x在t时刻的概率密度函数



式中D为扩散系数，是物理学刻画物质扩散速度的物理量。

上式表明，大量一维布朗粒子在t时刻的位置服从参数为（0，2Dt）的正态分布，表示布朗粒子随时间向偏离原点的方向扩散。



二、维纳过程





三、随机过程定义



四、《随机过程》教科书中的基本概念错误





五、B-S期权定价公式与金融危机





1973年，Black和Scholes基于几何布朗运动随机变量模型，推导出了著名的BS期权定价公式。由于从理论上解决了金融衍生产品的定价问题，BS期权定价公式对华尔街各种金融创新工具和金融创新产品的面世起到了重大推动作用，使华尔街金融市场获得了空前规模的发展。

但是，由于BS期权定价公式用随机变量的统计参数（波动率）来刻画股票价格的波动程度和风险，因此在大规模应用于金融市场时，竟成为直接导致1987、1997和2007年三次重大金融危机的关键原因。



从物理学角度看，物体温度是度量物体分子运动平均动能的统计参数，没有人会用温度来描述一个分子的动能。但是BS期权定价公式却用随机变量的标准差来度量一条样本轨道的波动程度，这就如同用温度来度量一个分子的动能一样荒谬。

普林斯顿大学数学博士、科普作家麦肯齐（Mackenzie）在《无言的宇宙（隐藏在24个数学公式背后的故事）》书中明确指出：1987、1998和2007年三次重大金融危机都与B-S期权定价公式的正态分布假设有关。

畅销书《黑天鹅》作者塔勒布（Taleb）在《金融时报》上发表了题为“破坏市场的伪科学”专栏文章，指出金融数学通过创造风险而非降低风险来危害金融系统，认为金融数学理论获得诺贝尔奖不仅是对科学的侮辱，而且一直使金融体系面临崩溃的风险。

六、随机过程学科面临重大范式变革

“与实际结合，问题驱动”是随机过程等应用数学学科发展的不竭动力和重要特征。《随机过程》教科书要想正确阐明随机过程样本轨道的本质特征及其变化规律，必须要纠正将样本轨道混淆为随机变量的基本概念错误，因此，未来随机过程学科将面临重大范式变革，全新的随机过程样本轨道理论将会在时间函数基础上进行重建，这也为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

作者简介

高宏，毕业于清华大学精密仪器系，分别获工学学士、硕士和博士学位，留校任教从事测试信号分析与处理的教学与科研工作，现任紫光股份有限公司CTO，北京市科协委员。