f=∑fn 在(0,∞)内闭一致收敛，在(0,∞)上积分 ∫fdx,∫fndx 收敛，则 ∫fdx=∑∫fndx

elim

题：试证若\(\displaystyle\,f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\) 在\((0,\infty)\)的任意闭区间上正项一致收敛,
\(\displaystyle\int_0^{\infty}f,\;\int_0^{\infty}f_n\) 均收敛, 则\(\,\displaystyle\int_0^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\infty}f_n(x)dx\)

elim

实变函数论对这类问题提供了有力的工具(单调收敛定理，控制收敛定理等).
在很大程度上方便了函数项级数的积分与逐项积分级数是否相等的判断。