三等分任意角

he13978006650

                 三等分任意角
解世界难题之一，用直尺、圆规作出三等分任意角。
如图所示，此解只能作出90度以内的三等分任意角。
解：任意角BAC、以A点为圆心，以任意长AB为半径画弧、交另一边于C点，连接BC，作角BAC的平分线AD、交BC于D点，在线段AD上取DE等于CD，连接EC，在线段AC上取FC等于EC，连接EF，在线段EC上取EH等于EF，连接HF，作E点的垂线，交FC于G点，作线段FG的垂直平分线MN，交线段HF于N点，在线段EC上取ES等于GC+FN。以S点为圆心，以ES长办半径画弧，交BC弧于X点，以X点为圆心，以BX弧长为半径画弧，交XC弧于Y点，连接XA、YA，则有：∠BAX＝∠XAY＝∠TAC  。
                  作毕
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      求证：  如图所示。[attach               
设：  ∠BAC＝63°    AB＝AC＝100
则有：∠BAD＝∠DAC＝63°÷2＝31.5°
      AD＝AB×cosBAD＝100×cos31.5°＝85.2640164
      BD＝DC＝AB×sinBAD＝100×sin31.5°＝52.2498564
在△CDE中：
      CD＝DE     ∠CDE＝90°
则有：∠DCE＝∠DEC＝(180°—90°)÷2＝45°
       CE＝CD／cosDCF＝52.2498564／cos45°＝73.8924555
       AE＝AD－DE＝85.2640164—52.2498564＝33.01416
       AG＝AE／cosEAG＝33.01416／cos31.5°＝38.7199212
       CG＝AC—AG＝100—38.7199212＝61.2800787
       FG＝CE—CG＝73.8924555—61.2800787＝12.6123768
       FM＝FG÷2＝12.6123768÷2＝6.3061884
在△ACE中：
       ∠AEC＝180°—∠CED＝180°—45°＝135°
       ∠ACE＝180°—∠CAE—∠AEC＝180°—31.5°—135°＝13.5°
在△CEF中：
       ∠CEF＝∠CFE＝(180°—∠ECF)÷2＝(180°—13.5°)÷2＝83.5°
在△EFH中：
       ∠EFH＝∠EHF＝(180°—∠FEH)÷2＝（180°－83.25°）÷2＝48.375°
在△FMN中：
       ∠MFN＝∠EFM—∠EFN＝83.25°—48.375°＝34.875°
       FN＝FM／cosMFN＝6.3061884／cos34.875°＝7.6867105
       ES＝CG＋FN＝61.2800787＋7.6867105＝68.9667892
连接 AS
在△AES中：
       AS2＝AE2＋ES2—2AE•ES•cosAES＝33.014162—68.96678922—2×33.01416×68.9667892×cos135°＝9066.34821634
       AS＝√9066.34821634＝95.2173735
       sinEAS＝sinAES•ES／AS＝sin135°×68.9667892／95.2173735＝0.5121637
       ∠EAS＝30.8080605
       ∠CAS＝∠CAE—∠SAE＝31.5°—30.8080605°＝0.6919395°
  连接SX
  在△ASX中：
        SX＝ES
        cosSAX＝AS2＋AX2－SX2/2AS•AX＝95.21737352＋1002—68.96678922／2×95.2173735×100＝0.7514348
        ∠SAX＝41.2851819°
        ∠CAX＝∠SAX＋∠CAS＝41.2851819°＋0.6919395°＝41.97712149°≈42°
        ∠BAX＝∠BAC—∠XAC＝63°—42°＝21°
则有： ∠BAX＝∠XAY＝∠YAC＝21°
                        证毕
                                              求证人：何正文
                                                             2020/11/15

drc2000再来

仔细作图.......

he13978006650

我是设：  ∠BAC＝63°    AB＝AC＝100  来求证的

wangyangke

勇于尝试三等分角者，英雄！

天山草@

楼主，你那个证明中有 41.97712149°≈ 42°，这就坏事了。只能说你这个作图法是近似三等分，并且只限于三等分 63° 这个特殊角。

he13978006650

90度以内的任意角。

simpley

符合尺规作图，但怎么证明它三等分角呢

he13978006650

用三角函数来证明，希望你多看N次，然后用直尺、圆规作图试试。

llshs好石

这位老师您好，在360度以内的角，只要是3的倍数，都可以作出来的，因为18度和15度的角我们都可以作出来，63度和21度的角都是3的倍数，你只是解决了特殊角度可以作出来而已

he13978006650

按照我的作图方法，在 0到 90度范围内作图试试。