为什么“负负得正”？

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为什么“负负得正”？

作者 | 大小吴

来源 | 大小吴的数学课堂

(-1)×(-1) = 1 是每一个上过中学的人都熟知的事实，但是即便是非常简单的“负负得正”，你有想过这是为什么吗？今天大小吴就和大家来探讨一下这件事。

1 司汤达的疑问

将财产记为正数，负债记为负数对于普通人来说确实是一件易于理解的事，这种记录方式始于7世纪的印度，它适用于加减法的运算，比如，本来有 10 元，支出 12 元，对应的算式是 10 - 12 = -2 。这里的对应的实际含义是“负债 2 元”。

然而，当要对其进行乘除法的时候，就会出现某些令人匪夷所思的问题，在12世纪，印度天文学家巴斯卡拉这样说道：“财产和财产的乘积，债金和债金的乘积均为财产，财产和债金的乘积则是债金。”根据他的说法，就有 债金×债金 = 财产 。这个公式是什么意思呢？恐怕无人能够理解。18世纪的大数学家欧拉在其著作《代数学入门》采用过同样的说明方法，这让许多学习数学的人在初遇负数相乘问题的时候感到一头雾水。


司汤达（1783~1842）

《红与黑》的作者，19世纪法国批判现实主义作家司汤达在其年少时酷爱数学，但他同样也困惑于“负负得正”问题，他在其自传中这样写道：

似乎是由于年少的单纯，使我认为在数学中是不可能有虚假的，然而当了解了谁也没加证明的（负×负）=（正）时，该怎么办才好呢（这是代数学的基础之一）。当考虑某人有负的借款时，为何 1 万法郎的借款乘以 500 法郎借款，就会变成 500 万法郎的财产了呢……

实际上，司汤达提出了每一个学习代数的人都必然会提出的问题，即为什么“负负得正”？该如何直观地理解这件事？

2 从实际的角度

问题出在了对正负数的说明上。仔细想想，对于什么是 财产×财产，债金×债金，恐怕谁也无法说明，因为金额再乘以金额是没有实际意义的。


M·克莱因（1908-1992）

对此，《古今数学思想》的作者，美国数学史家和数学教育家M·克莱因通过“负债模型”巧妙地说明了“负负得正”问题：

一个人每天欠债 5 元，从给定日期开始（比如今天）3 天后欠债 15 元。如果将 5 元的负债记作 -5 ，那么“每天欠债 5 元，欠债 3 天”可以用数学来表达：(-5)×3 = -15 。

同样地，每天欠债 5 元，考虑这个人 3 天前的财产，那么就应该比今天的财产多 15 元。如果我们用 -3 表 示 3 天前，用 -5 表示每天欠债，那么 3 天前他的财产情况就可以表示为 (-5)×(-3) = +15 。

受此启发，我们也可以举出“批阅试卷”的例子来进行说明：

如果有一次考试某同学错了一道题，扣 5 分，则将其记为，对应的算式是：(-5)×1 = -5 。

这里的 1 表示的实际含义是 1 道错题。

换个角度想，假若是老师批错了，那么很显然这位同学扣除的 5 分就会加回去了，其得分是 +5 。

1 表示老师批对，那么相对应地，则 -1 表示老师批错，对应的算式是：(-5)×(-1) = +5 。

上述两个例子是自然的，也是合乎情理的，可以帮助我们理解“负负得正”。

3 从运算逻辑的角度


4 从几何的角度


5 不能加以证明的“负负得正”


参考文献：
[1]（日）远山启.数学与生活[M].吕砚山等译.人民邮电出版社，2014.
[2]（美）R·柯朗，H·罗宾. 什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].复旦大学出版社，2012.
[3]（德）菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）——算术 代数 分析[M].舒湘芹等译.复旦大学出版社，2008.

波斯猫猫

负负得正（转载科学网2016-11数学都知道）  此博文包含图片        (2017-01-22 09:05:28)[编辑][删除]转载▼
标签： 杂谈 教育      
负负得正
2016-10-10 好玩的数学
点上方好玩的数学可加关注带你走进一个不一样的数学世界
文 | 汪晓勤
美国诗人奥登（W.H.Auden, 1907~1973）曾武断地说：“负负得正，其理由我们无须解释！”奥登的话暗示我们：许许多多的人在徒劳地寻求“负负得正”这个“悖论”就让他尝到了苦头。事实上，自从负数概念进入数学课本以来，人们就没有停止过“负负得正”合理性的质疑。“负负得正”成了一个教学难点。大数学家F·克莱因（F.Klein.1849~1925)曾对负数的教学提出忠告：不要试图去证明记号法则的逻辑必要性，”别怕不可能的证明讲得似乎成立”。

波斯猫猫

[这个贴子最后由猫猫爹在 2017/01/22 04:02pm 第 2 次编辑]

要用到已有的知识：1，两个相反数的和为零；2，乘法交换律；3,零乘以任何数得零;  4，分配律；5，异号两数相乘得负数；6，减去一个数等于加上这个数的相反数，即加上一个数等于减去这个数的相反数.
设a和b是任意正数，对于j= —a×（—b+b），都有
一方面，j=—a×0=0×（—a）=0 ；                 （用到了“1”、“2”和“3”）
另一方面，j=—a×（—b）+（—a）×b              （用到了“4”）
          =—a×（—b）+〔—（a×b）〕          （用到了“5”）
          =—a×（—b）—（a×b）.              （用到了“6“）
所以   —a×（—b）—a×b=0.
又因为两个数的差为零，所以被减数等于减数，即  —a×（—b）=a×b. 这就是说，负数乘负数得正数.

上面这个算不算证明？

任在深

请注意！
       数学分为
                  1.纯粹数学即结构数学：探讨和研究宇宙空间型的结构和结构关系的科学。
                  2.应用数学：利用纯粹数学的理论解决在生活和生产中的具体问题的科学。
       因此只要正确认清我们研究的是纯粹数学还是应用数学，那就不会出现上面的错误观念！

            因为此类问题属于纯粹数学的问题，所以我们就从结构数学谈起。
        如图：
               
          1.在一象限，正正为正：如自然数0,1,2,3......n;素数单位：1,2,3,5,7......Pn,A+B=B+A,AB=BA
          2.在二象限，正负为负：如  A+(-B)=-▏A-B▏,A(-B)=-BA
          3.在三象限，负负为正：如  -A+(-B)=-▏-A-B▏=A+B,(-A)(-B)=AB
          4.在四象限，负正为负：如  -A+B=-▏-A+B▏,(-A)B=-AB
它们之所以这样定义是因为它们所在的位置和方向才如此定义的！
不能用应用数学的欠债来定义！！