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求常数 k ,使得方程 (x+2)^2+(y+3)^2=(x+5)^2+(y+7)^2=(x+11)^2+(y+k)^2 无解

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发表于 2020-12-29 16:35 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問數學

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发表于 2020-12-29 17:50 | 显示全部楼层


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謝謝老師  发表于 2020-12-29 17:55
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发表于 2020-12-29 18:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-12-29 20:39 编辑

我求的是实数解,肉眼观察,认为当 2.75 < k < 22.75 时,无实数解。记 A 点坐标为 (-2, -3),B 点坐标为 (-5, -7), (x, y) 所在的点为 P,则方程成立 <=> 直线 x=-11 上有点 D (或 E),使得 PD = PA = PB,这意味 P 在 AB 的中垂线上。

结论是否正确,还请各位达人指正,论证如图所示。


上述结论应该是做错了,陆老师的结论是对的,只有在 k=15 这一个值上无解。

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发表于 2020-12-29 19:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-12-29 20:57 编辑

利用 Mathematica 求解,
Solve[{(2 + x)^2 + (3 + y)^2 == (5 + x)^2 + (7 + y)^2 == (11 + x)^2 + (k + y)^2}, Reals]

得:
if y > -2.75255 || y < -27.2474, \(k = -y - \sqrt{75 + 30y + y^2} \) &&  \(k = -y + \sqrt{75 + 30y + y^2} \)

k 与 y 的图像如下(y 为 x 轴, k 为 y 轴)

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