设 f(x) 在 R 上连续可微，且 f(0)=0，f(1)=1，试证：∫(0,1)｜f(x)-f '(x)｜dx≥1/e

xfhaoym

elim

\(\displaystyle\int_0^1|f(x)-f'(x)|dx=\int_0^1|f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}|e^xdx\)
\(\geq\displaystyle\int_0^1(f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x})d x=e^{-1}f(1)-e^0f(0)=\frac{1}{e}\)

elim

这个积分下界的最好估计是什么？

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！

但其中有些步骤，别人恐怕不容易看懂，下面是更详细一些的解答过程：

永远

楼上陆教授 完整版的答贴已收藏。

xfhaoym

谢谢陆老师，先构造一个函数就容易理解了．

elim

\(\displaystyle\int_0^1(f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x})dx=(f(x)e^{-x})\bigg|_0^1\) 更好理解些。
而这跟我的解没大区别。另外，不难验证
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1|x^{1/n}e^{x-1}-(x^{1/n}e^{x-1})'|dx=\small\frac{1}{e}\). 所以\(1/e\) 就是所论积分的下确界.