已知 a+b=1, 求 ab(a^n+b^n) 最大值

王守恩

\(已知\ a+b=1,\ n=3, 4, 5, 6,......\ \ 求\ ab(a^n+b^n)\ 的最大值。\)

\(\displaystyle试证：\frac{1}{e\ (n+2)}<\ 最大值\ <\frac{1}{e\ (n+1)}\)

uk702

首先给一个初步的估计，并只考虑 n = 2m 的情况

uk702

记 ab=t，下面用数学归纳法证明 \[1-nt ≤a^n+b^n ≤(1-t)^{n} \]
本楼给出的证明有误，请见 #10

uk702

使用 Mathematica 验证结果如下，故当 n=2,3 时，及 a、b >= 0 时，左边的 \(1/{4n}\) 已经是最佳结果了。

王守恩

uk702 发表于 2021-1-8 08:21
记 ab=t，下面用数学归纳法证明 \[1-nt ≤a^n+b^n ≤(1-t)^{n} \]

谢谢 uk702！我缺少的就是这论证。谢谢 uk702！

\(已知\ a+b=1,\ n=3, 4, 5, 6,......\ \ 求\ ab(a^n+b^n)\ 的最大值。\)

\(试证：当\ a=\frac{n+1}{n+2},\ b=\frac{1}{n+2}\ 时,\ \frac{1}{e\ (n+2)}<\ 最大值\ <\frac{1}{e\ (n+1)}\)

uk702

令 ab=t，则由 a+b = 1, ab = t 解得 a = \(\frac {1 + \sqrt{1 - 4 t}}2 \), b =  \(\frac {1 - \sqrt{1 - 4 t}}2 \)
于是 \(a^n+b^n\) =  \({(\frac {1 + \sqrt{1 - 4 t}}2 })^n \) +  \(({\frac {1 - \sqrt{1 - 4 t}}2}) ^n \) <= \((1-t)^n + t^n \)
其中 0 ≤ t ≤ \(\frac14\)

且，当 n 足够大时，对于任意的 c > 1，都有  \(a^n+b^n\) =  \({(\frac {1 + \sqrt{1 - 4 t}}2 })^n \) +  \(({\frac {1 - \sqrt{1 - 4 t}}2}) ^n \) ≧ \((1-ct)^n\)

王守恩

uk702 发表于 2021-1-8 17:48
令 ab=t，则由 a+b = 1, ab = t 解得 a = \(\frac {1 + \sqrt{1 - 4 t}}2 \), b =  \(\frac {1 - \sqrt{1 - ...

\(另一条路：设\ a=\sin^2x\ \ \ \ b=\cos^2x\ 怎么走？\)

elim

看一个有趣的图再说：

uk702

下面证明当 n>= 10 时左边结论成立。而经检验，\(\frac{n-1}{n^2}(1-\frac1n)^n > \frac1{e(n+2)}\) 只对 n >= 6 时成立。
故本楼的证明不适用于 n=3,4,5 的情况，而 n=3,4,5 时，经验证，楼主的公式也是成立的。

uk702

真没想到，当 n≥2 时，证明 \(1-nt ≤ a^n +b^n ≤ (1-t)^n \)， 其中 a+b = 1，t = ab，且 a ≥ 0, b≥ 0 竟如此简单。