论证分析下面求和号与积分号交换的合法性

永远

论证分析下面求和号与积分号交换的合法性


\[\displaystyle\int_0^\infty  {\ln x\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} } dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx} \]

elim

靠收藏不缩水的论证有脑袋缩水的危险．表现为没有自行解决问题的能力．思绪极易崩溃．

elim

这么多书，这么多人，这么简单的问题，有啥好绝望的？ 你总得弄清楚什么是
一致收敛，这东西跟极限与积分的交换有关系又不等价这点吧？ 你总得弄清楚
这种交换的本质不过是  \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\int_0^\infty\big(\sum_{k=1}^{\infty}f_k-\sum_{k=1}^nf_k\big)\right|=0\) 成立而已。

任给定\(\;\varepsilon>0\), 若能找到\(\;\alpha,\beta\in(0,\infty)\) 使以下(1),(3) 对任意\(n\)成立，
(2) 对充分大的\(n\)成立，事情不就结束了？
\((1)\quad\displaystyle\left|\int_\beta^\infty\big(\sum_{k=1}^{\infty}f_k-\sum_{k=1}^nf_k\big)\right|< \varepsilon/3\)
\((2)\quad\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta\big(\sum_{k=1}^{\infty}f_k-\sum_{k=1}^nf_k\big)\right|< \varepsilon/3\)
\((3)\quad\displaystyle\left|\int_0^\alpha\big(\sum_{k=1}^{\infty}f_k-\sum_{k=1}^nf_k\big)\right|< \varepsilon/3\)

什么都可以缩水，脑袋不能缩水！

elim

脑袋一缩水，就忘了使用 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}f_k-\sum_{k=1}^nf_k=\sum_{k=n+1}^\infty f_k\)

永远

转载e老师的贴子：

题：试证\(\;\;\displaystyle\int_0^{\infty}\big(\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{\ln x}{n}}e^{-nx}\big)dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\infty}{\small\frac{\ln x}{n}}e^{-nx}dx\).
证：设\(\;0< \alpha< \lambda< \infty,\;\)据 Cauchy-Schwarz不等式,\(\qquad\displaystyle\bigg(\int_{\alpha}^{\lambda}e^{-nx}|\ln x| dx\bigg)^2\le\int_{\alpha}^{\lambda}e^{-2nx}dx\int_{\alpha}^{\lambda}\ln^2 x dx\)\(\qquad\displaystyle=\small\frac{e^{-2n\alpha}-e^{-2n\lambda}}{2n}(\varphi^2(\lambda)-\varphi^2(\alpha))\quad(\varphi^2(x)=x(1+\ln^2(x/e)))\)
\((1)\quad\displaystyle 0<\overset{\,}{\small\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\lambda}\frac{1}{n}}e^{-nx}|\ln x|dx <\varphi(\lambda)\zeta({\scriptsize\frac{3}{2}});\)\(\because\quad e^{-x/2}\ln x< e\;\;(x\ge e),\displaystyle\int_{\eta}^{\infty}e^{-nx}\ln x dx< e\int_{\eta}^{\infty}e^{-(n-1/2)x}dx\)
\((2)\quad\displaystyle{\small\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\eta}^{\infty}\frac{1}{n}}e^{-nx}\ln xdx<{\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-(n+1/2)\eta}}{n(n-1/2)}}< 2e^{-\eta}\zeta(2);\quad\)已知
\((3)\quad\displaystyle{f(x)=\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln x}{n}}e^{-nx}dx\;\)在\(x\ge a>0\,\)一致收敛且\({\displaystyle\small\int_0^{\infty}}f\,\)收敛.\(\therefore\quad\displaystyle\left|\sum_{n=1}^{N}\int_0^{\infty}\frac{\ln x}{n}e^{-nx}dx-\int_0^{\infty}f(x)dx\right|\)
\(\qquad\qquad\le\displaystyle\left|\sum_{n=1}^{N}\int_0^{\lambda}\frac{\ln x}{n}e^{-nx}dx-\int_0^{\lambda}f(x)dx\right|\)
\(\qquad\qquad\quad+\displaystyle\left|\int_{\lambda}^{\eta}\big(\sum_{n=1}^{N}\frac{\ln x}{n}e^{-nx}-f(x)\big)dx\right|\)
\(\qquad\qquad\quad+\displaystyle\left|\sum_{n=1}^{N}\int_{\eta}^{\infty}\frac{\ln x}{n}e^{-nx}dx-\int_{\eta}^{\infty}f(x)dx\right|\)
任给\(\,\varepsilon>0,\)存在\(\,\lambda>0,\,\eta>e\,\)使

\(\qquad\displaystyle{\small\int_0^{\lambda}|f|,\;\int_{\eta}^{\infty}f},\;\varphi(\lambda)\zeta({\scriptsize\frac{3}{2}}),\,2e^{-\eta}\zeta(2)\in(0,\varepsilon/6)\)
存在\(\;N\in\mathbb{N}\,\)使
\(\;\displaystyle\left|\sum_{n=1}^m\frac{\ln x}{n}e^{-nx}-f(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3(\lambda+\eta)}\;\;(\forall x\in[\lambda,\eta],\forall m>N)\)\(\therefore\quad\displaystyle\int_0^{\infty}\big(\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{\ln x}{n}}e^{-nx}\big)dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\infty}{\small\frac{\ln x}{n}}e^{-nx}dx\quad\small\square\)

永远

elim 发表于 2021-1-22 04:51
脑袋一缩水，就忘了使用 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}f_k-\sum_{k=1}^nf_k=\sum_{k=n+1}^\infty f_ ...

说说看，你这个式子咋来的：

\[\boxed{\int {{{\ln }^2}xdx}  = x(1 + {{\ln }^2}\frac{x}{e})}\]

elim

复习工科不定积分技巧应该就可以了。

elim

\(\displaystyle\int \ln^{n+1}xdx=x\ln^{n+1}x-(n+1)\int\ln^n x dx\)

收藏固然很好，消化不可怠，否则弄小板凳看戏时间长了，会成痞子的。

永远

楼上e老师言辞犀利！我算的结果与软件结果一致，就是你楼上的分部积分方法，可此法得到的结果与你的结果不一致！！！！！！

elim

中学数学。\(\ln x-1=\ln\large\frac{x}{e}\)