我对张彧典先生的回复

雷明85639720

我对张彧典先生的回复
雷  明
(二○二一年元月二十三日)

    张彧典先生看了我的《转型交换最大转型次数的确定》（网址：http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4342 ）一文中的“8、补充：还是把有双环交叉链的构形分为有经过了关键顶点的环形链的构形和无经过关键顶点的环形链的构形两大类好一些”（不知他看完没看完全文）后，给我的回复信是这样的：“你说的对了：对于非十折对称几何结构的染色困局构形，用H染色程序求解，在顺（或者逆）时针方向上，总有一个方向颠倒染色次数不超过9次，就可以给它们正确4染色。这个结论我在15个染色困局构形的对称性中已经得出。况且，我已经通过定理6给出一个理论依据。加上实践上的结论，实现了理论与实践的有机统一。祝我们成功在望！”
我立即给张先生进行了简单的回复，现在再完善如下，以便在网上发表。
张先生：
1、我说的无经过关键顶点的环形链的构形的“最大转型次数不会大于9次”与你说的“在顺（或者逆）时针方向上，总有一个方向颠倒染色次数不超过9次”并不是同一回事，“９次”的概念也是不相同的。首先再明确一下，你说“颠倒”就“交换”，与我这里的交换是同一个意思，都是坎泊的颜色交换技术中的一次对某条链中的两种颜色进行的一次交换。
2、我说的是无经过关键顶点的环形链的颜色冲突（也就是你说的染色困局，我认为用颜色冲突可能更确切一些）构形无论是从那个方向进行转型，交换的总次数都是不会大于９次的。
3、而你说的却是“对于非十折对称几何结构的染色困局构形（其中既包括有经过了关键顶点的环形链的染颜色冲突构形，也包括无经过关键顶点的环形链的颜色冲突构形——雷注），用H染色程序求解，在顺（或者逆）时针方向上，总有一个方向颠倒染色次数不超过9次，就可以给它们正确4染色。”你这个9次分明是你的15个Z—构形进行逆、顺两个方向颠倒次数从2到16的中间值。
4、而且你也看到了的确存在着从两个方向转型（即你说的颠倒）时，转型次数都大于9次的构形是存在（这我在回复你“在顺（或者逆）时针方向上，总有一个方向颠倒染色次数不超过9次”这一结论时，已于二○二○年十二月十八日给你一步一步的画过图，并且也讲清楚了。文章标题是《给出一个两个方向均需要十三次转型才能空出颜色的构形》，你如果忘记了，还可以再去看一看。网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/ ... pic=4314&show=0 ）。
5、你可能会说，我画的那个图中有经过了关键顶点的环形链，可以用你的Z—换色程序（也就是我说的断链交换法）解决。是的，你回复我时，也的确也是这么说的（见我文章后张先生的回复），我在当时也就对你的说法进行了否定（见下面6）。
6、但你要知道，你是主张除了埃雷拉E—图外的所有非十折对称构形都是用H—换色程序（即你的颠倒法，也即我说的转型交换法）的。而这里怎么又对这个构形却不用H—换色程序了呢？
7、非十折对称的构形是分为有经过了关键顶点的环形链的构形和无经过关键顶点的环形链的构形两种。这样以来，你就把几何结构完全不同的十折对称构形与一部分非十折对称构形使用了相同的方法去解决了。区分不了那个是十折对称的，那个是非十折对称的了。
8、既是这样，为什么不把都是有经过了关键顶点的环形链的所谓的十折对称的E—图构形与非十折对称的、也有经过了关键顶点的环形链的构形统一归为一类呢？既有相同的结构特征，也有都是用相同的方法解决，这样不更好吗？统一叫做有经过了关键顶点的环形链的构形，正好与无经过关键顶点的环形链的构形构成了两大类，不更好吗？的确，你那个所谓的十折对称构形与非十折对称的构形是没有什么明显的特征进行区别的！在你说了刘千栋先生所画的图2，应是用Z—换色程序进行解决之后，我立即就问了你几次（至少是三次），你是如何判断刘千栋先生的图2是否是十折对称的构形，你却为什么至今不能给以回答呢？我估计你是回答不了的！
9、这样，按照我在8中要求你用的处理方法处理后，不是就使得把以上两种不同的构形用同一种方法进行解决就更加名正言顺了吗？
10、我两个人的认识不是也就完全统一了吗？
11、实际上，你只认为颠倒的次数是有限的，但你并不认为这个“有限的”三个字是需要证明其上界值的。颠倒次数的有限是要有一个上界的，否则仍是一个无限的！你认为多少次才能说是有限的呢？
12、你也没有用证明的办法给出这个上界值应该是多少。一方面如上面说的在“顺（或者逆）时针方向上，总有一个方向颠倒染色次数不超过9次”，另一方面又说最大转型次数（即最大颠倒次数）是36次，即是埃雷拉E—图的一个转型的大循环周期20和你的15个Z—构形的最大交换（颠倒）次数16二者的和。这分明又是在硬凑合嘛！关于张先生认为最大转型次数是36次的解释和我对这一说法的否定的辩论，请见我二○二○年十二月二十日的论文《证明四色猜测的关键是解决颜色冲突问题》的评论栏中，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/ ... pic=4316&show=0 。
13、请老张朋友再三思，是否是这样呢？
14、你不要以为我说无经过关键顶点的环形链的构形最大的交换次数是9，就以为我认为你的九大构形分类理论是正确的。我并不认为你的九大构形分类是正确的，而只是说你的第八构形的交换总次数是没有突破无经过关键顶点的环形链的构形的最大交换次数的。
15、你的九个构形实际上是两类，一类是第二构形和第九构形构两个构形构成的有经过了关键顶点的环形链的构形，另一类是其他七个构形构成的无经过关健顶点的环形链的构形。前一类用断链交换法解决，后一类用转型交换法解决。你看一看你的这七个构形，是不是都可以用顺时针颠倒两次都可以解决问题呢？而另外两个是不是用Z—换色程序可以解决呢？
16、我对无经过关键顶点的环形链的构形的最大转形次数的证明是这样的逻辑证明：无经过关键顶点的环形链的构形，本身就不存在埃雷拉E—图构形那样的、有经过了关键顶点的环形链这样的形成无穷循环转型的条件，所以它是一个不可能是象E—图构形那样，既有大循环（周期限是20）的构形，以有小循环（周期限是4）的构形，至少要在第一个小循环周期形成后，而在第二个小循环周期还未形成之前，图就得到转化成为可约的、可以连续的移去两个同色的构形或者转化成可约的有经过了关键顶点的环形链的构形。
17、可以看出无经过关键顶点的环形链的构形转形后可能是有两种结果的。一种是在小于等于7次转形就得到一个可以连续的移去两个同色的可约构形，再经两次空出颜色的交换，最大共9次交换就可以空出颜色给待着色顶点着上。因为这里的第一次空出颜色的交换的结果，实际上表现的结果也是使构形发生了转型，所以也可以说成“在小于等于8次转型时，就可得到一个只有一条连通链的可约构形”；另一种是在小于等于7次转形就得到一个有经过了关键顶点的环形链的可约构形，最大再经过一次断链交换和多则两次空出颜色的交换（如E—图和E—图二次转型后的图那样）或少则一次空出颜色的交换（如E—图一次转型和三次转型后的图那样），就可以空出一种颜色给待着色顶点着上，最大的交换次数也是9。因为在这里的断链交换后，构形并未发生转型，而只是由有双环交叉链的构形转化成了无双环交叉链的构形，所以叫断链交换。断链交换后的交换才是空出颜色的交换。
18、这个逻辑推理的结论是否是正确的，我在二○二一年元月十七日的文章《转型交换最大转型次数的确定》中已有用不同的方法进行验证的结果，请可以参看。网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4342。其中有用非极大图的无经过关键顶点的环形链的构形进行验证的；有采用转型演绎法构造的极大图的无经过关键顶点的环形链的构形进行验证的；还有采用具体着色实例进行验证的，如欧文1935年给出的左、右对称的无经过关键顶点环形链的构形，张先生的15个Z—构形中的10个无经过关键顶点的环形链的构形，以及张先生的八个构形和第八构形、第八构形的放大构形等。这些验证都是在交换次数不大于9次的情况下，就空出了颜色给待着色顶点着上。都符合以上用逻辑推理得到的结论。并且在验证过程中，还提出了一个关于无经过关键顶点的环形链的构形与有经过了关键顶点的环形链的构形，是否可以只通过改变某个顶点的颜色，就可以相互转化的猜想，有待进一步进行证明。如果是这样，无经过关键顶点的环形链的构形的着色就更简单了，四色猜测的证明也就会简单了。

雷  明
二○二一年元月二十三日于长安

注：此文已于二○二一年元月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：


我对张彧典先生的回复（二）
雷  明
（二○二一年元月二十五日）

张先生朋友：
    请看我的证明是否正确。
你对15个Z—构形进行转型交换时，得到的结论是两个方向转型中总有一个方向的交换次是不大于9次的。实际上也就是在不大于9－2＝7次的转型后，图就转化成了可以连续的移去两个同色的可约构形。也就是说，后两次交换都是空出颜色的交换。但施行了第一次空出颜色的交换的结果，实际上也是引起了构形的峰点发生了变化的，转化成了只有一条连通链的可约构形，所以也可以说转型次数是不大于8次的。正因为这个不统一的原因，首先我们规定在以下的论述中，统一都按转化成可以连续的移去两个同色的可约构形时“转型次数不大于7就转化成了可以连续的移去两个同色的可约构形”的术语来论述。
现在就按照原命题与其逆否命题具有相同的真假性，来对“转型次数不大于7就转化成了可以连续的移去两个同色的可约构形”的结论进行逻辑证明如下：
原命题：无经过关键顶点的环形链的具有双环交叉链的颜色冲突构形，在进行转形时，两个方向转型的转型次数一定都不大于7。
仅管逆命题、否命题与原命题是真是假没有直接的关系，但为了完整，在这里还是把其逆命题和否命题是否是真也一同证明一下。
逆命题：“两个方向转型的转型次数都不大于7的具有双环交叉链的颜色冲突构形，一定是无经过关键顶点的环形链的构形”是不成立的。证明：因为有张彧典先生的Z6、Z7和Z8的逆时针方向转形的转型次数分别是5、6、7，都不大于7，还有Z10、Z9和Z8的顺时针方向转型的转型次数也分别是5、6、7，也都不大于7，而这些构形也都是含有经过了关键顶点的环形链的构形，所以并不是所有两个方向转型的转型次数都不大于7的构形都是无经过关键顶点的环形链的构形。证毕。逆命题与原命题没有直接的关系。
否命题：“有经过关键顶点的环形链的具有双环交叉链的颜色冲突构形，在进行转形时，两个方向转型的转型次数一定都大于7的”是假的。证明：有经过关键顶点的环形链的构形在转型时，两个方向转型的转型次数不一定都是大于7的，如张先生的Z6、Z7和Z8逆时针方向转型的转型都是不大于7的，Z10、Z9和Z8顺时针方向转型的转型次数也都是不大于7的。所以这个否命题是不成立的。原命题与否命题也是没有直接的关系。
逆否命题：“转型时只要有一个方向转型的转型次数是大于7的具有双环交叉链的颜色冲突构形，一定是有经过了关键顶点的环形链的构形”是真的。原命题与逆否合题应有同真同假的关系，逆否命题为真，原命题也一定为真。
证明：转型时只要有一个方向转型的转型次数大于7时，就会出现完全的第二个小循环周期（小循环的周期是4次转型）。产生了第二个小循环，就有可能产生三个循环，四个循环等，一至无穷。是不是会产生以20次转型为一个周期的大循环，都是无所谓的。反正已有埃雷拉E—图构形的两个方向的转型次数都是无穷循环的构形已经存在了，E—图构形中的确是存在着经过了关键顶点的环形链的。证毕。
逆否命题与原命题是同真同假的，所以原命题也是真的。这就从逻辑上证明了原命题“无经过关键顶点的环形链的具有双环交叉链的颜色冲突构形，在进行转形时，两个方向转型的转型次数一定都不大于7。”是真的，我所得出的结论是正确的。
我们的着色实践也证明了，凡是转型时只要有一个方向转型的转型次数是大于7的具有双环交叉链的颜色冲突构形，都是含有经过了关键顶点的环形链的构形。证明了原命题的逆否命题是真的。
①  如张先生的Z—构形中的Z9和Z10两个构形，逆时针方向转型的转型次数分别是9＋1－2＝8和10＋1－2＝9次，其中都含有经过了关键顶点的环形链；还有张先生的Z—构形中的Z7和Z6两个构形，顺时针方向转型的转型次数也分别是9＋1－2＝8和10＋1－2＝9次，其中也都含有经过了关键顶点的环形链；
②  Z—构形中的Z1到Z5的五个构形，分别顺时针方向转型5到1次后，都转化成了含有经过了关键顶点的环形链的构形，对这五个有经过了关键顶点的环形链的构形再继续顺时针方向转型时，分别还需要转型9到13次（9到13的五个数都是大于7的），才能转化成可以连续的移去两个同色的可约构形；
③  Z—构形中的Z11到Z15的五个构形，分别逆时针方向转型1到5次后，也都转化成了含有经过了关键顶点的环形链的构形，同样的，对这五个有经过了关键顶点的环形链的构形再继续逆时针方向转型时，也分别还需要转型13到9次（同样的9到13的五个数都是大于7的），也才能转化成可以连续的移去两个同色的可约构形；
④  还有，我与张先生共同构造的许多个转形次数大于7次的构形（都是大于张先生的第八构形的逆时针转型的转型次数的）中，都是含有经过了关键顶点的环形链的构形。
这就从理论与实践两方面都证明了原命题的逆否命题：“转型时只要有一个方向转型的转型次数是大于7的具有双环交叉链的颜色冲突构形，一定是有经过了关键顶点的环形链的构形。”是真的。当然原命题：“无经过关键顶点的环形链的具有双环交叉链的颜色冲突构形，在进行转形时，两个方向转型的转型次数一定都不大于7。”也就是真的了。我的结论是正确的。

雷  明
二○二一年元月二十五日于长安

注：此文已于二○二一年元月二十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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