实数 a+b+c+d+e=8 和 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16，求 e 的最大值

天山草@

从西瓜视频上淘来的题目。据说这是美国中学生一道竞赛题。

已知 a, b, c, d, e 都是实数，满足：a+b+c+d+e=8 和 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16，求 e 的最大值。

天山草@

先介绍一种用柯西不等式的解法。这也是网上视频中老师的方法。
柯西不等式是，对于实数 a, b, c, d 有 \( (a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2   \)，这个不等式可以推广成 \( (a^2+b^2+c^2+d^2)(E^2+F^2+H^2+G^2)≥(aE+bF+cH+dG)^2   \)。
令 \( E=F=H=G=1  \) ，代入上式得
\( (a^2+b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c+d)^2   \)
再把已知条件 \( a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2  \) 以及 \( a+b+c+d=8-e  \) 代入上式得
\( 4(16-e^2)≥(8-e)^2  \)
整理上面这个不等式，得 \( 5e^2-16e≤0  \)，解这个不等式得
\( 0≤e≤\frac{16}{5}  \)
也就是说 \(e \) 的最大值是 \( \frac {16}{5}  \)。
由对称性知 a, b, c, d 的最大值也都是  \( \frac {16}{5}  \)。

天山草@

介绍第二种解法。
构造一个函数 \( f(x)=(a+x)^2+(b+x)^2+(c+x)^2+(d+x)^2≥0 \)，即
\(4x^2+2(a+b+c+d)x+a^2+b^2+c^2+d^2≥0 \)。
由已知 \( a+b+c+d=8-e \) 以及 \( a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2 \)，代入上式得
\(4x^2+2(8-e)x+16-e^2≥0 \)。
因为 \( f(x)≥0 \)，所以这个一元二次式的判别式小于等于零，也就是
\( (2(8-e))^2-4×4×(16-e^2)≤0 \)，整理得 \( 5e^2-16e≤0 \)，
解得 \( 0≤e≤\frac{16}{5} \)，因此 \( e \) 的最大值是 \( \frac{16}{5} \)。

天山草@

第三种解法。
由于 \((a - b)^2 + (a - c)^2 + (a - d)^2 + (b - c)^2 + (b - d)^2 + (c -
    d)^2≥0 \)，推出
\( a^2 + b^2 + c^2 + d^2≥\frac{ (a + b + c + d)^2}{4} \)。此式即平方平均大于等于算术平均。
将 \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2=16-e^2 \) 以及 \( a + b + c + d=8-e \) 代入上式得
\( 16-e^2≥\frac{(8-e)^2}{4} \)，整理得
\( 5 e^2 - 16 e ≤ 0 \)，
解得  \( 0 ≤e ≤\frac{16}{5}\)。

波斯猫猫

已知 a, b, c, d, e 都是实数，满足：a+b+c+d+e=8 和 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16，求 e 的最大值。

再给个思路：当a=b=c=d时，由a+b+c+d+e=8，有a=（8-e）/4，由 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16和均值定理，有16-e^2=a^2+b^2+c^2+d^2≥4a^2（事实上，当a=b=c=d，或｜a｜=｜b｜=｜c｜=｜d｜时，等号都成立），即16-e^2≥4[（8-e）/4]^2，解得0≤e≤16/5。

luyuanhong

楼上 天山草@ 的帖子很好！已收藏。