乌龟数列

王守恩

正整数数列: 1, 2, 3, a4, a5, a6,…, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤ i ＜ j ＜ k
试证：a4=4, a6=12, a8=30, a10=80, ..乌龟数列恰好有 1 个解 。
\(a04=004=02*02=003+01^2=005-1^1=008-02^2\)
\(a06=012=03*04=008+02^2=013-1^1=021-03^2\)
\(a08=030=05*06=021+03^2=034-2^2=055-05^2\)
\(a10=080=08*10=055+05^2=089-3^2=144-08^2\)
\(a12=208=13*16=144+08^2=233-5^2=377-13^2\)
\(a14=546=21*26=377+13^2=610-8^2=987-21^2\)

............

王守恩

通项公式。
LinearRecurrence[{2, 2, -1}, {4, 12, 30}, 20]
{4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}

王守恩

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王守恩

只有1个解 ：不是0个解，不是2个解，不是3个解，...
我们试想一下：茫茫数海，有这样一串数，永远不会被吞没。

王守恩

王守恩 发表于 2021-2-2 07:50
通项公式。
LinearRecurrence[{2, 2, -1}, {4, 12, 30}, 20]
{4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 979 ...

通项公式。

\(a(n)=\frac{(1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^n-\cos(n\pi)2^{n+1}}{5×2^n}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-2-2 07:50
通项公式。
LinearRecurrence[{2, 2, -1}, {4, 12, 30}, 20]
{4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 979 ...

通项公式。

\(\displaystyle a(n)=\sum_{k=1}^n\frac{\big((1+\sqrt{5})^k-(1-\sqrt{5})^k\big)^2}{5*2^{2k-1}}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-2-2 08:21
特别地，感谢网友 uk702！
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{4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}
004=1,2,3,4
012=1,2,3,5,7,12
030=1,2,3,5,8,11,19,30
080=1,2,3,5,8,13,18,31,49,80
208=1,2,3,5,8,13,21,29,50,79,129,208
546=1,2,3,5,8,13,21,34,47,81,128,209,337,546
答案是唯一的！只有一条路！？为什么？？？

王守恩

通项公式。a(n) = F(n)^2 + F(n-1)^2 - F(n-2)^2. -  2023年3月2日

{4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}

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