已知 f(x)=(e^x-a)(3ax+1)≥0 对 x∈R 恒成立，问：满足条件的 a 有几个？

xfhaoym

这道题中学能做吗？

luyuanhong

xfhaoym

这题这么麻烦！谁想出来的？

波斯猫猫

另一思路：（1）当a=0时，f(x)=(e^x-a)(3ax+1)=e^x＞0，故a=0是满足条件的。
令g（x）=e＾x-a，r（x）=3ax+1.
（2）当a＜0时，指数曲线g（x）=e＾x-a在x轴的上方，直线r（x）=3ax+1有一部分在x轴的下方，故e＾x-a与3ax+1在x∈R范围内不可能同时为非负或非正。即这时满足条件的a不存在。
（3）当a＞0时，指数曲线g（x）=e＾x-a必与x轴相交于（lna，0），而r（x）=3ax+1与x轴相交于（-1/(3a)，0）.从而，要使e＾x-a与3ax+1在x∈R范围内同时为非负或非正，即指数曲线与直线同时在x轴的上方或下方，必有lna=-1/(3a)，而对数函数y=lnx与反比例函数y=-1/(3x)的图象在区间（0,1）上有两个交点，即方程lna=-1/(3a)在区间（0,1）上有两个解（见luyuanhong老师2021-2-3 18:34 的帖子），这时满足条件的a有两个。
综上，满足条件的a有三个。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答也很好！已收藏。