已知 lim(x→+∞)[f(x)+f '(x)]=1 ，求证：lim(x→+∞)f(x)=1 ，lim(x→+∞)f '(x)=0

elim

题：试证\(\displaystyle\,\lim_{x\to +\infty} (f(x)+f'(x))=1\implies (f(x),f'(x))\to (1,0)\;(x\to+\infty)\)

xuke

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow +\infty} f\left( x \right) &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^xf\left( x \right)}{e^x}
\\
&=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right]}{e^x}(\text{L'Hospital's rule})
\\
&=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right]
\\
&=1
\end{align}
------------------
\[\lim_{x\rightarrow +\infty} \left[ f\left( x+1 \right) -f\left( x \right) \right] =\lim_{x\rightarrow +\infty} f'\left( \xi \right) ,x<\xi <x+1
\\
=\lim_{x\rightarrow +\infty} f'\left( x \right) =0-0=0\]

elim

谢谢 xuke 楼上的证明，第二部分可以这样：
\(f'(x)=(f(x)+f'(x))-f(x)\to 1-1=0\;(x\to+\infty)\)

这个结果有没有什么醍醐灌顶的几何解释？

xuke

elim 发表于 2021-2-3 09:43
谢谢 xuke 楼上的证明，第二部分可以这样：
\(f'(x)=(f(x)+f'(x))-f(x)\to 1-1=0\;(x\to+\infty)\)

函数f(x)的渐近线斜率吗？我只是一个学高数的工科生hhh

luyuanhong

楼上 xuke 的解答很好！已收藏。