证明定积分 ∫(0,π／2)sin√(tanθ)dθ=πsin(1／√2)／e^(1／√2)

elim

题：试证 \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\sqrt{\tan\theta}d\theta=\pi\frac{\sin\frac{1}{\sqrt2}}{e^{\frac{1}{\sqrt2}}}\)

永远

不知道e老师有什么好的方法

elim

经永远老师这么一说，题目没人会做了。老师牛啊。

永远

代换一下变成这个积分：f(x)=xsinx/(x^4+1) 求f(x)对x从0到正无穷的积分


然后运用留数
记f(z)=ze^(iz)/(1+z^4) Re z>0其极点为z1=e^(πi/4),z2=e^(3πi/4),
∫(0,+∞)xsinx/(x^4+1)dx=1/2∫(-∞,+∞)xsinx/(1+x^4)dx=1/2Im{∫(-∞,+∞)xe^(ix)/(1+x^4)dx}
=1/2Im{2πiRes[f(z),z1]+2πiRes[f(z),z2]}
=1/2Im{2πi*[z1e^(iz1)/(4z1^3)]+2πi*[z2e^(iz2)/(4z2^3)]}
=(π/2)e^(-√2/2)sin(√2/2)

这是我的个人方法一，细节来源于网络。

在然后，方法二，用三角函数的欧拉公式代换，然后求解这个复积分，不过这就涉及到我的知识点盲区了，算了，还是看看其他老师怎么算

永远

elim 发表于 2021-2-7 14:59
经永远老师这么一说，题目没人会做了。老师牛啊。

老师不敢当，你才是专业的。我数学不好只是学渣而已。不好意思，发帖失误，原帖已更正。e老师请别介意。我一个打工仔在这里就不凑热闹，初学者只是路过，各位老师请继续

永远

方法很多，转载百度贴吧

方法一



方法二



方法三

x=arctan（t2）
∫（0，+∞）cos（ax）/（1+x⁴）dx=π/2*Im exp（-a/√2+ia/√2+iπ/4）


在加上楼上的方法四

永远

这个题目用复分析解是可以的，有初等方法解吗

luyuanhong

楼上 永远 转发的帖子很好！已收藏。

永远

luyuanhong 发表于 2021-2-8 18:09
楼上 永远 转发的帖子很好！已收藏。

陆老师中午好，各位老师好，e老师的这个帖子终于可以结束了，正儿八经的初等方法


各位老师好，有没有好的方法，求解积分∫(0,+∞)xsinx/(x^4+1)dx
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 6&fromuid=80637
(出处: 数学中国)

elim

令 \(\small I(a) = \displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin at} {t(t^2+1)}dt\), 则 \(\small I''(a)-I(a)=-\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin at}t dt= -\frac\pi2\)
\(\therefore {\small I(a)=}{\large\frac\pi 2}(1-e^{-a}),\;\;I'(a)={\large\frac\pi 2}e^{-a}\)
\(\small\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^{4}+1} d x
= &\frac1{4\sqrt2}\int_{-\infty}^{\infty}
( \underset{x-\frac1{\sqrt2} =t}{\frac{\sin x}{x^2-\sqrt2 x+1}} - \underset{x+\frac1{\sqrt2} =t}{\frac{\sin x}{x^2+\sqrt2 x+1}} ) d x\\
= &\frac1{4\sqrt2}\int_{-\infty}^{\infty}
\left( \frac{\sin(t+\frac1{\sqrt2})}{t^2+\frac12} - \frac{\sin(t-\frac1{\sqrt2})}{t^2+\frac12} \right) d t \>\>\>\>\>(\sqrt2t\to t)\\
=& \sin\frac1{\sqrt2} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \frac t{\sqrt2}}{t^2+1} dt = \sin\frac1{\sqrt2}\cdot I’(\frac1{\sqrt2})\\
=&\frac\pi2 e^{-\frac1{\sqrt2} } \sin\frac1{\sqrt2}
\end{align}\)