设 n 阶方阵 A=(aij) ，aij=1／min(i,j) ，计算行列式 det(A)

elim

题：设\(\;a_{ij}={\large\frac{1}{\min(i,j)}},\) 计算\(\,\det((a_{ij})_{n\times n})\)

elim

题：设\(\;a_{ij}={\large\frac{1}{\min(i,j)}},\) 计算\(\,\det((a_{ij})_{n\times n})\)
解： \(\because\;\;a_{i+1,j}-a_{ij}=\begin{cases}{\small 0,}&{\small j\le i,}\\ \frac{1}{i{\small+1}}-\frac{1}{i},&{\small j\ge i+1.}\end{cases}\)
\(\qquad\)矩阵第\(i\small+1\)行减前行(\(i\small=\overline{n-1,1}\,\))后成一上三角阵.
\(\therefore\quad\displaystyle\det((a_{ij})_{n\times n})=\prod_{i=1}^{n-1}\big({\small\frac{1}{i+1}-\frac{1}{i}}\big)=\small\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!n!}.\quad\square\)

luyuanhong

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