求和号与积分号交换的充分条件是啥，是不是只有一致收敛时才可以交换？

永远 · 发表于 2021-2-7 23:50

本帖最后由永远于 2022-11-28 19:40 编辑

论证分析下面求和号与积分号交换的合法性

\[\displaystyle\int_0^\infty {\ln x\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} } dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int_0^\infty {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx} \]

永远 · 发表于 2021-2-7 23:52

陆教授晚上好…………

elim · 发表于 2021-2-8 00:11

下等题，不是吗？

永远 · 发表于 2021-2-8 09:04

本帖最后由永远于 2021-2-8 09:15 编辑

陆老师的帖子那是一帖难求啊，由于帖子叙述的很详细，完整。由浅入繁，逻辑鲜明。继续等待……

永远 · 发表于 2021-2-8 17:23

本帖最后由永远于 2021-2-8 17:51 编辑

e老师这话说的多尴尬，陆老师注意身体，俺继续等待………

永远 · 发表于 2021-2-8 21:19

有人说，主要是因为求和和积分都是线性算符

永远 · 发表于 2021-2-9 08:07

本帖最后由永远于 2021-2-9 08:20 编辑

还有人这样回答：不知道对不对，我看了一眼感觉不对就不看了

求和和积分本质上是一回事，求和可视为在计数测度下的积分。
积分和积分可交换的充分条件，即Fubini定理：绝对可积或者被积函数非负。
以本题为例，∑后面的东西为-ln（1-e^(-x)），想使用Fubini定理就要去估计它乘上|ln x|是否在正半轴上可积。当x趋于∞时该函数等价于e^（-x），乘ln x可积。当x趋于0+时，该函数和ln x尽管均趋于∞，但都被x^（-t）控制，取t＜0.5，可得它们的乘积在零点局部可积。这样就得出二重积分是绝对可积的，从而累次积分是可交换的。

永远 · 发表于 2021-2-9 08:18

本帖最后由永远于 2021-2-9 08:21 编辑

早上好！求助于陆老师科普…………

永远 · 发表于 2021-2-9 09:07

我想定积分的本质是求和的过程，求和套求和，那就是双重求和的过程。主贴就是问双重求和符号什么情况下可以交换的问题

永远 · 发表于 2021-2-9 09:31

根据定积分的定义试图把原积分转换成极限形式，然后考虑到双重求和符号交换情况，在细节讨论

		自动登录	找回密码
密码			注册

求和号与积分号交换的充分条件是啥，是不是只有一致收敛时才可以交换？

点评