怎样理解《四色猜想的独特证明》

zhangyd2007@soh

                                                  《四色猜想的独特证明》中的六个辅助定理详述  
      
                                                                                 张彧典

       《四色猜想的独特证明》是我们在继承肯普（Kempe）成功证明他的不可避免构形集d(v)=2、3、4 的基础上，对他在证明d(v)=5时存在的漏洞给出的补充证明，这个证明是通过6个辅助定理实现的“实践+理论”相统一的简短证明，连中学生都能读懂。详述如下。

        第一：2017年12月，我们发现并且证明了一个重要定理：

        在任何一幅用四色染色的极大平面图中，不可避免地存在至少 “一个四边形之四个顶点用四种不同颜色染色”，简称为“四色顶点四边形”存在定理（即定理1）；

         同时证明了四色顶点四边形的性质定理（即定理2）：
        在四色顶点四边形中，已知对角链被它的相反对角链替换时，只会改变构形的几何结构，而不会改变构形的色图。

         第二：找到了E-族（4个）构形。

         1935年，《美国数学学会会刊》发表了《对已部分染色地图的一组操作》【1】给出赫伍德反例构形的基本模型，同时提出了一个Errera图（即构形），称之为“染色困局”构形。
       《一种试探式的平面图四染色》【2】一文又把Errera图称之为CK图。
         1992年，《已知的赫伍德范例》【3】把Errera图用它的对偶图简化表示出来，我们称之为“E构形”，就是论文中图3之E1。
为了名称的统一，我们把以上3种叫法统一为“染色困局”构形 。
        2018年，他通过解析上述3个同类文献，找到了与E构形同胎的另外3个构形，这4个构形统称为“E-族构形”，分别记为E1,E2,E3,E4 , 如图4所示。同时证明，4个构形都能够使得算法2循环（即定理3）。

         第三：确立了非十折对称几何结构的染色困局构形集合

        2018年1月，西安的雷明先生提供了一个颠倒染色10次的构形，否定了他在《四色猜想的数学归纳法证明》中的最多颠倒染色9次的判断。这样倒逼他，重新审视9大不可避免构形的个数。于是重新潜下心来，继续改造颠倒染色次数更多的构形。到6月，他利用四色顶点四边形性质定理构造出了一个颠倒染色14次的构形，雷明先生接着构造出一个颠倒染色16次的构形，他沿着构造颠倒染色14次的法则，接连构造出颠倒染色11、12、13、15次 的4个构形。
        到此，得到颠倒染色次数从2到16的连续递增的15个可约的染色困局构形，这个集合是否完备呢？这时，张彧典反过来寻求其理论依据。在深入分析第10个至第15个染色困局构形的构造法则----在具有十折对称的E族4个构形中，逐一用对角链替换处于第二个五边形中的每一条边，以破坏E族构形几何结构的十折对称性----之后，突然眼睛一亮：原来这15个非十折对称几何结构的染色困局构形可以通过E族4个构形之第二五边形中能够替换的15条边而得到。
        这个结论还可以从E族4个构形中所有可以替换的64个四色顶点四边形对角链之后得到的64个非十折对称构形用H染色程序求解的次数从小到大排列规律归纳出来。
       这样，得到的15个非十折对称几何结构的有解染色困局构形，与敢峰先生2011年出版的《4CC和1+1的证明》中经过15次顺时针颠倒染色得到15个非十折对称几何结构的无解染色困局构形 形成一一对应。加上4个具有十折对称性的染色困局E族构形，一共组成两类（19个）有解染色困局构形的一个不可避免构形集合。

      第四：对以上得到的两类构形进行可约证明

      方法就是：

     15个非对于十 对称几何结构的染色困局构形 ，运用H染色程序（逆时针方向）最多16次颠倒染色就可约了，从而得到定理4；
      对于4个十折对称几何结构的染色困局构形，运用Z染色程序可约，从而得到定理5。

      第五：确立了任意染色困局构形可约的方法。

    《 一种试探式的平面图四染色》中已经通过E1构形证明了一个引理，这就是：
   “引理3.1 ：当初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期” 。
      这个引理中所说的“初始染色为CK0”，就是初始的色图，“算法2.1”就是H染色程序。通过E族中的4个构形周期循环性分析，证明了它们周期循环的根本原因，主要不仅是因为构形初始染色，而且是因为它们都具有的十折对称性几何结构。为什么认识有差别呢？理由是：文献1、3、4只是考虑到E族中的一个构形即图4中E1的共性---色图CK0循环，他则与文献2一样，不仅考虑到色图循环，而且考虑到E族中的四个构形的共性---几何结构也循环 即定理3。所以引理3.1 应该描述为：
       引理3.1’：“当具有十折对称几何结构且初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期”。
       其逆否定理也一定正确。那就是：
       如果算法2.1（H染色程序）不循环，那么初始染色为CK0的几何结构一定不具有十折对称性。
       通过对最小不可避免集中的15个非十折对称几何结构构形的可约证明即 定理4，又证明了这个逆否定理的逆定理成立，也就是文献3中引理3.1的否定理成立，即本文中的第6个定理，           
       定理6 ：“当初始染色的CK0不具有十折对称几何结构时，算法2.1不循环。”

       把定理6推而广之，得到推论：
    “如果任意放大的染色困局构形不具有十折对称几何结构时，那么H染色程序一定不循环，即经过有限次的颠倒染色后使得构形可约。
      
      定理6实现了清华大学林翠琴I996年给我指出的方向:
      你若能证明，经有限次颠倒染色，可以给任意极大平面图4染色，即大功告成，那将是震惊世界的成果。
      定理6的推论 ，对于点与边无限、非十折对称几何结构复杂的染色困局构形的可约提供了理论证明。
      对于E族构形的放大构形，只要没有破坏十折对称几何结构的基本框架以及特征环A-B或者C-D，仍然用Z染色程序仍然可约。

   
      我们通过定理1至定理6的理论确立，终于完成了四色猜想的实践+理论的简短证明，论文《四色猜想的独特证明》在2020年6月12日发表于数学中国基础数学栏目中。
      整个证明，有效地弥补了“肯普证明”中的漏洞，完成了四色猜想的一个简短证明，实现了给出机器证明的美国数学家阿佩尔（Appel）的预见：
      四色问题的一个简短证明总有一天会被发现，甚至被因此而一举成名的高中生所发现。


      正确与否，敬请四色问题专家们认真理解并且客观评论。

Nicolas2050

:痴人说梦