重要命题讨论：勾股数完全公式猜想

ysr

设m,b为正整数且m>1，则x=m^2*b-b,y=2mb,z=m^2*b+b，而x,y,z就是全部勾股数，或者写成则x=bm^2-b,y=2mb,z=bm^2+b.

此公式简单，且仅仅有两个变量，就是只有两个字母。

例如：m=2,b=1,则得到勾股数3，4，5.
  m=2,b=2,则得到勾股数6，8，10.
m=2,b=5,则得到勾股数15，20，25.
m=2,b=10,则得到勾股数30，40，50.
m=2,b=100,则得到勾股数300，400，500.
m=3,b=1,则得到勾股数8，6，10.
……………………

欢迎讨论欢迎批评！

ysr

当x+y=2021有1组方程x^2+y^2=z^2的解： /解/1505/516/1591.
以前的所有公式都不能得到这一组解，咱的公式能得到这个值，哈哈！

ysr

y是偶数，例如7，24，25就没有包括。

这个应该是能算出来的，此时原来的勾股数公式就可以，所以，我的公式也能算出来。原来的公式：x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2,当a=4，b=3时则有x=7，y=24，z=25.所以，我的公式改进一下也能算出来。

的确要改进，当m=4/3，b=9时就得到了7，24，25.
此时公式为：x=b^2*m^2/b^2-b^2=m^2-b^2,y=2mb,z=m^2+b^2.
这就是原始公式了。（考虑一下，二者如何合并为一个公式）

ysr

就是公式中的m=m1/b1，b=b1^2.  或者说m写作m/b，b写作b^2。

ysr

当x+y=1002有3组解： /解/858/144/870其中(x + z) / 2=864其方根为：29.3938769133981
/解/144/858/870其中(x + z) / 2=507其方根为：22.5166604983954
/解/0/1002/1002其中(x + z) / 2=501其方根为：22.3830292855994
当x+y=1004有1组解： /解/0/1004/1004其中(x + z) / 2=502其方根为：22.4053565024081
当方根为整数时可以用原来的勾股数公式计算，当方根不是整数时可以用我的新公式计算。
其中的y从1~b^2<=(x+y)/2
x从b^2~(x+y)内的最大的平方数。
用公式算比不用公式的穷举法计算次数少，计算量小。

波斯猫猫

前人早已通透的研究完毕，其通解为x=m^2-n^2 , y=2mn , z=m^2+n^2。研究勾股数的早就该开辟新课题了。

ysr

波斯猫猫 发表于 2021-2-14 13:05
前人早已通透的研究完毕，其通解为x=m^2-n^2 , y=2mn , z=m^2+n^2。研究勾股数的早就该开辟新课题了。

这个不是完全公式，比如当x+y=2021有1组解： /解/1505/516/1591其中(x + z) / 2=1548其方根为：39.344631145812
这组解上面的公式是弄不出来的。

ysr

而1548/43=36，所以，用新公式当m=6，b=43时，就得到这组解。

elim

最完整的通项是 \((x,y,z)=k(n^2-m^2,2mn,m^2+n^n)\)
\(\small\;(k,m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\,\gcd(m,n)=1，\;x\) 与\(\,y\) 的次序忽略\()\).

据此楼主可找到许多在你那个通项中不会出现的勾股数组.

ysr

elim 发表于 2021-2-14 18:41
最完整的通项是 \((x,y,z)=k(n^2-m^2,2mn,m^2+n^n)\)
\(\small\;(k,m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\,\gcd(m,n)= ...

当x+y=93有1组解： /解/21/72/75其中(x + z) / 2=48其方根为：6.92820323027551
新公式仍然是不完全的，不能得到这组解，当a=48，b=27，则公式：x=a-b,y=2(ab)^(1/2),z=a+b，就得到x+y=93的一组解。
该组解无法用新公式表示。
当t=3，a=4，b=3，则x=t(a^2-b^2),y=t(2ab),z=t(a^2+b^2),就得到这组解。
但这样就是3元方程了，程序要3层循环的，计算量太大。
旧公式也不是完全公式，比如当x+y=2021有1组解： /解/1505/516/1591其中(x + z) / 2=1548其方根为：39.344631145812。
旧公式能得到这组解吗，如何得到？