求方程 2(2y-1)^(1／3)=y^3+1 的实数解

天山草@

对于实数 \(y \) 解下面的方程：

\( 2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1 \)

天山草@

题目来源： 据说上世纪七八十年代，莫斯科大学的数学系的入学考试【类似于中国的高考】针对犹太学生要专门做加试题。加试题共有21道，上面这个是第 4 题。

elim

先观察到 y = 1 是一个实根。
原方程等价于  \(p(y)=y^9+3y^6+3y^3-16y+9=0\)
用待定系数法不难得出该多项式有二次因子\(y^2+y-1\):
\(p(y)=(y-1)(y^2+y-1)(y^6+2y^4+2y^3+4y^2+2y+9)\)
\(\because y(y+1)\ge -\frac{1}{4},\)
\(\therefore\;\;y^6+2y^4+2y^3+4y^2+2y+9\)
\(\quad=2y(y+1)(y^2+1)+2y^2+y^6+9\)
\(\quad\ge -\frac{1}{2}(y^2+1)+2y^2+y^6+9>0\;(\forall y\in\mathbb{R})\)
\(\therefore\;\;y=1,-\small\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) 为所求实根.

luyuanhong

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天山草@

设 \( x=(y^3+1)/2\)，
\( \implies 2x-1=y^3, \implies x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}=2\sqrt[3]{y^3}=2y,   \implies y=(x^3+1)/2  \)
因此 \( x=x(y) \) 与 \( y=y(x) \) 互为反函数，并且它们关于直线  \( x=y\) 对称。
原方程的解就是函数与反函数的交点，或是函数或反函数与直线  \( x=y\) 的交点。

联立方程 \( y = (x^3 + 1)/2 \) 和 \( y = x \)，得 \( y = (y^3 + 1)/2，\implies  y^3 - 2 y + 1 = 0\)，
\(\implies (y - 1) (y^2 + y - 1) = 0\)，
\( \implies  y = 1, y =\frac{-1±\sqrt{5}}{2} \) 。





以上是原帖给出的解答。

luyuanhong

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