设 n 是正整数，使得 2n+1 及 3n+1 皆为平方数，求所有符合该条件的 n 的最大公因数

popo987654

一道数论题

若n是正整数使2n+1及 3n+1皆为平方数，求所有符合该条件的n的最大公因数.

luyuanhong

题  设 n 是正整数，使得 2n+1 及 3n+1 皆为平方数，求所有符合该条件的 n 的最大公因数。

解  经过搜索，可以找到：

n=40 ，2n+1=81=9^2 ，3n+1=121=11^2 ；

n=3960 ，2n+1=7921=89^2 ，3n+1=11881=109^2 ；

n=388080 ，2n+1=776161=881^2 ，3n+1=1164241=1079^2 ；

n=38027920 ，2n+1=76055841=8721^2 ，3n+1=114087361=10681^2 ；

…………

可以看出，所有符合条件的 n 都是 40 的倍数，它们的最大公因数就是 40 。

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-2-15 10:51
题  设 n 是正整数，使得 2n+1 及 3n+1 皆为平方数，求所有符合该条件的 n 的最大公因数。

解  经过搜索 ...

规律不好找，好像是这样的？

1，LinearRecurrence[{99, -99, 1}, {40, 3960, 388080}, 12]
{40, 3960, 388080, 38027920, 3726348120, 365144087880, 35780394264160,
3506113493799840, 343563341998120200, 33665701402321979800,
3298895174085555900240, 323258061358982156243760}

2，LinearRecurrence[{10, -1}, {9, 89}, 12]
{9, 89, 881, 8721, 86329, 854569, 8459361, 83739041,
828931049, 8205571449, 81226783441, 804062262961}

3，LinearRecurrence[{10, -1}, {11, 109}, 12]
{11, 109, 1079, 10681, 105731, 1046629, 10360559, 102558961,
1015229051, 10049731549, 99482086439, 984771132841}

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的帖子，帮助我找到了 n 的通项公式。