已知实数 α,β 满足方程 α^3-6α^2+13α=2020，β^3-3β^2+4β=-2008，求 α+β

wintex

請問方程式

uk702

\(a^3-6a^2+13a\) =  2020   =>  \((a-2)^3+a-2 \) =   2010
\(b^3-3b^2+4b\)  = -2008   =>  \((b-1)^3+b-1\) = -2010

令 x=a-2, y=b-1，则有
\(x^3+x\)=  2010
\(y^3+y\)=-2010

两式相加，得：\((x+y)(x^2-xy+y^2+1)\) = 0
而 \(x^2-xy+y^2+1\)=\((x-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2+1\) ≧ 1，
故必有 x+y=0  => a+b = 3

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知实数 α,β 满足方程 α^3-6α^2+13α=2020，β^3-3β^2+4β=-2008，求 α+β。

思路：（1）由 α^3-6α^2+13α=2020，有α[（3-α）^2+4]=2020，且α＞0。

由β^3-3β^2+4β=-2008，有β^3-3β^2+4β-12=-2020，即β^2（β-3）+4（β-3）=-2020或

（3-β）（β^2+4）=2020，且β＜3。

（2）由上有α[（3-α）^2+4]=（3-β）（β^2+4）=2020，令α=k（3-β），3-α=mβ，解得k=m=1。

故 α+β=3。

luyuanhong

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