正三角形 ABC 外接圆半径为 5，P 是外接圆上一点，AP=x，BP=y，CP=z，求 xyz 的最大值

wintex

請問幾何

波斯猫猫

题：正三角形 ABC 外接圆半径为 5，P 是外接圆上一点，AP=x，BP=y，CP=z，求 xyz 的最大值 。

思路：根据对称性，只考虑P在弧BC上。记∠PAC=θ，AP=x，BP=y，CP=z，则由题意和正弦定理有，

z/sinθ=y/sin(60°-θ)=z/sin(60°+θ)=10。

所以，xyz=1000sinθsin(60°+θ)sin(60°-θ)=250sin3θ≤250，当且仅当θ=30°时等号成立。
            
故 xyz 的最大值 是250。

wintex

波斯猫猫 发表于 2021-2-17 20:02
题：正三角形 ABC 外接圆半径为 5，P 是外接圆上一点，AP=x，BP=y，CP=z，求 xyz 的最大值 。

思路：根 ...

謝謝老師
xyz=1000sinθsin(60°+θ)sin(60°-θ)=250sin3θ

luyuanhong

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