求 0＜x＜1 时 S=13√(x^2-x^4)+9√(x^2+x^4) 的最大值

天山草@

如何用均值不等式  (两个正数的几何平均值小于等于算术平均值) 解下题：

求 \(1 > x > 0\) 时 \( S = 13 \sqrt{x^2 - x^4} + 9 \sqrt{x^2 + x^4}\) 的最大值。

波斯猫猫

思路：令其导数S′=0，得13（2x-4x＾3）/[2√（x＾2-x＾4）]+9（2x+4x＾3）/[2√（x＾2+x＾4）]=0，

即13（2x＾2-1）/√（1-x＾2）=9（2x＾2+1）/√（1+x＾2）=0。

令x＾2=a，得13（2a-1）/√（1-a）=9（2a+1）/√（1+a）=0，即1000a＾3-750a+88=0，或

（10a）＾3-75（10a）+88=0,或（10a-8）（10a+4+3√3）（10a+4-3√3）=0。

所以，x＾2=8/10，x＾2=-（4+3√3）/10，x＾2=（3√3-4）/10（第二个不在（0,1）内，第三个是增

根）。

解得上述“三个”零点，经检验符合条件的零点x=2/√5。代入S的表达式中得Smax=16。

天山草@

uk702

来个简单一点的，求 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{3x-5}+\sqrt{4x-7}=5x-6 \)的实数解。

波斯猫猫

uk702 发表于 2021-2-20 11:19
来个简单一点的，求 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{3x-5}+\sqrt{4x-7}=5x-6 \)的实数解。

观察得x=2，或用均值定理亦可得到x=2。如2√（x-1）≤x-1+1。

luyuanhong

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