\(p\)-进制循环小数 \((0.\dot{q}_p)_p=1.\;\;(q_p=p-1\in\mathbb{N}^+)\)

elim

\(\small p\)-进制小数 \((0.\dot{q}_p)_p\small=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{p-1}{p^n}=\frac{p-1}{p}\lim_{n\to\infty}\frac{1-p^{-n}}{1-p^{-1}}=1\;(q_p=p-1\ge 1)\)

特别地，二进制循环小数\((0.\dot{1})_2=1,\) 十进制循环小数\(\,0.\dot{9}=1.\)

elim

主贴说明，标准分析不是仅对十进制有效，对任何\(\,p\)-进制计数系统都是有效的。

elim

我将进一步分析 p-进制小数问题。

elim

固定一个正整数\(p>1,\,\)称形如\(\,{\large\frac{k}{p^n}}\small\;(k\in\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{N})\) 为数轴上的\(\,p\)-进制
格点数. 引进上确界概念：若\({\small(\varnothing\ne)E\subset\mathbb{R}},\,m{\small\in\mathbb{R}},\;x\le m\small(\forall x\in E) \),
则称\(\,E\,\)有上界\(\,m,\,\)实数系的连续性定理是说, 若\(\,{\small(\varnothing\ne)} E{\small(\subset\mathbb{R})}\)有上界，
则\(\,E\,\)有上确界(最小上界)\(\sup E\in\mathbb{R}.\)
考虑任意一个正实数\(\,x = m_x+\alpha_x\;(m_x\in\mathbb{N},\,\alpha_x\in(0,1])\)
易见存在唯一的序列\(\{a_n\}\)使得\(\,\alpha_x-p^{-n}\le{\displaystyle\small\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{p^k}}< \alpha_x.\)
\(\small\,(0\le a_k\le p-1\;\forall k)\)
所以\(\,(0.a_1a_2a_3\ldots)_p={\displaystyle\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{p^n}}=\sup\{(0.a_1\ldots a_n)_p\mid n\in\mathbb{N}^+\}=\alpha_x\)
即每个正实数都可唯一地表示为\(\,p\)-进制无尽小数.

elim

注意\(\,\beta=\sup E\in\mathbb{R}\,\)意味着
\((\forall x\in E:\;x\le\beta)\wedge(\forall\gamma< \beta\,\exists x\in E:\;\gamma< x)\)