内斯比特 - 夏皮罗(NESBIT-SHAPIRO) 不等式简史

天山草@

1905 年，一位名叫内斯比特的英国数学家提出了下面这个不等式：
当  $a, b, c > 0$  时，有$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}≥\frac{3}{2}$。
上面这个内斯比特不等式的证明并不难; 但如果推广到 $n$ 个正实数，这个推广的不等式就不容易证明了。

半个世纪后的 1954  年，数学家夏皮罗提出了这个不等式的一般形式：
给定 $n≥3$ 个正实数   $\ a_1,a_2, \cdots,a_n> 0$ ，确定下面这个不等式是否成立 :
$\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+ \cdots+\frac{a_n-1}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2} ≥\frac{n}{2}----(1)$  

许多数学家研究过这个问题，取得了满意的成果。但至今还有一个问题，即不等式右边的最佳估计值是多少还没有完全解决。

1958 年，内斯比特的一个名叫 Moocden 的学生确定了$n = 4, 5, 6$ 时 (1) 成立。
1963 年, Diananda  证明了 : 如果(1) 对某个奇数 $n=n_0$  是错的，那么它对所有$n≥n_0$ 也是错的;
如果(1) 对某个偶数 $n=n_0$ 是对的，那么它对所有 $n≤n_0$ 也是对的。这个结论叫做 Diananda 定理。
Diananda 还证明了当 $n=27$ 时 (1) 是错的，这意味着 (1) 对于所有奇数$n≥27$ 都是错的。
之后，Djokovic  证明了 (1) 对于 $n = 8$ 是对的，Bajsanski 证明了(1) 对于$n=7$ 是对的。
1968 年，Nowosad根据 Diananda 定理证明了(1) 对 $n = 10$ 正确，因此(1) 对$n=9$ 也正确。
1971 年，Kristiansen 证明了(1) 对于 $n = 11, 12$ 是对的。Daykin 和 malcolm 证明了(1) 在 $n=25$ 时是错的。
1976 年，Godunova 和 Leni 再次证明了(1) 对于$n=12$ 是对的; Bushell  还给出了另一个反例来说明
$n=25$ 时 (1) 是错的。Bushell 和 Craven 证明了(1) 对于所有奇数 $n≤23$ 是对的。
1979 年，Troesch 和 Searcy 证明了一个令人印象深刻的结果，即 (1) 对于所有偶数 $n ≥14$ 都是错的。他还利用计算机指出(1) 对于所有偶数 $n≤12$和奇数$n≤23$ 都是正确的，但是这并不算是数学证明。
1985 年，Troesch 在 《数学计算杂志》 上发表了他对$n=13$ 的数学证明; 在1989年，他继续证明了$n=23$ 时(1) 正确。这表明，夏皮罗在提出他的问题近 40 年后 Troesch 是一个在漫长的历史时期中得出最终结论的人 :
  不等式 (1) 对所有$n≤ 12$ 的偶数都对，对$n≥14$ 的所有偶数都错。
     不等式 (1) 对所有$n≤23$  的奇数都对，对所有 $n≥24$ 的无论奇数或偶数都错。
也就是说：
     当 $n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 , 15, 17, 19, 21, 23$ 时 (1) 成立，
     当 $n = 14, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,\cdots$ 时 (1) 不成立。
     对于不等式 (1) 还有另外一个问题，那就是 (1) 的最小值最佳估计是多少。
1969 年，一位名叫 Drinfeljd 的俄罗斯 11 年级学生用高等数学方法得出了如下令人印象深刻的结果 :
当 $\ a_1,a_2, \cdots,a_n> 0$ 时 $\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+ \cdots+\frac{a_n-1}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2} > 0.989133×\frac{n}{2}$  
也许是由于这个结果，他在1990年获得了一个数学奖。
下面我们用初等数学方法证明不等式 (1) 右边的最佳估计为：
对于 $n≥3$ 当 $\ a_1,a_2, \cdots,a_n> 0$ 时$\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+ \cdots+\frac{a_n-1}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2} > 0.4577996 n$  
   以下略。

uk702

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