求证:方程没有整数解

太阳

已知: a>1，k>1，n>2，p>1，方程1+10^a+10^(2a)=3kp^n

求证:方程没有整数解

太阳

请教版主能解决此题吗？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-2-23 08:05
请教版主能解决此题吗？

这个题目只能验证，不宜理论证明。
下表摘自屏山老马的新浪微博（原表错误已更正）
“333…667”型数的质因数分解
37---质数
3367=7×13×37
333667---质数
33336667=7×13×37×9901
3333366667＝31×37×2906161
333333666667=19×52579×333667
33333336666667＝37×43×1933×10838689
3333333366666667=7×13×37×9901×99990001
333333333666666667=757×440334654777631
33333333336666666667=7×13×31×37×211×241×2161×2906161
3333333333366666666667=37×67×1344628210313298373
333333333333666666666667=19×52579×333667×999999000001
33333333333336666666666667=37×900900900900990990990991
十四、3333333333333366666666666667=7×7×13×37×43×127×1933×2689×459691×10838689
333333333333333666666666666667=238681×333667×4185502830133110721
33333333333333336666666666666667=7×13×37×9901×99990001×9999999900000001
3333333333333333366666666666666667=37×613×210631×52986961×13168164561429877
333333333333333333666666666666666667=757×70541929×14175966169×440334654777631
33333333333333333336666666666666666667=37×21319×10749631×3931123022305129377976519
3333333333333333333366666666666666666667=7×13×31×37×61×211×241×2161×9901×2906161×4188901×39526741
二一、333333333333333333333666666666666666666667= 10837×23311×45613×333667×45121231×1921436048294281
将上表各数等号两边个乘以3得下表：
F(3)＝111＝3×37
F2(2)＝10101＝3×7×13×37
F3(2)＝1001001＝3×333667
F4(2)＝100010001＝3×7×13×37×9901
F5(2)＝10000100001＝3×31×37×2906161
F6(2)＝1000001000001＝3×19×52579×333667
F7(2)＝100000010000001＝3×37×43×1933×10838689
F8(2)＝10000000100000001＝3×7×13×37×9901×99990001
F9(2)＝1000000001000000001＝3×757×440334654777631
F10(2)＝100000000010000000001＝3×7×13×31×37×211×241×2161×2906161
F11(2)＝10000000000100000000001＝3×37×67×1344628210313298373
F12(2)＝1000000000001000000000001＝3×19×52579×333667×999999000001
F13(2)＝100000000000010000000000001＝3×37×900900900900990990990991
F14(2)＝10000000000000100000000000001＝3×7×7×13×37×43×127×1933×2689×459691×10838689
……

太阳

找到一个反例，这样才能确定命题是错误

太阳

网友: n=2，找到了3个例

太阳

n取值过程中，停下了，命题正确，可以证明素数是无限多

yangchuanju

太阳 发表于 2021-2-23 09:45
找到一个反例，这样才能确定命题是错误

1+10^a+10^2a=3*k*p^n的中n等于2个又找到数个：
A=22时含2个素因子11；a=26时含2个素因子13；a=28时含2个素因子7；a=37时含2个素因子37；……
A=54时含3个素因子3，算不算数？
A=81时含4个素因子3，算得上一个n大于2的反例了吧？

太阳

1+10^81+10^(2*81)=3kp^n，有整数解吗？

太阳

A=81，没有整数解

yangchuanju

太阳 发表于 2021-2-23 09:45
找到一个反例，这样才能确定命题是错误

又找到一个，A=98时含3个素因子7，行了吧！
含294个1构成的正整数111…1由26个素因子组成，其中含3个素因子7：
3937 3
3938 7
3939 7
3940 7
3941 11
3942 13
3943 37
3944 43
3945 127
3946 197
3947 239
3948 1933
3949 2689
3950 4649
3951 63799
3952 459691
3953 909091
3954 4715467
3955 10838689
3956 505885997
3957 267652966241599
3958 2603941883787374089
3959 1976730144598190963568023014679333
3960 4769337181464959147997704753876850429427
3961 5076141624365532994918781726395939035533
3962 142857157142857142856999999985714285714285857142857142855714285571428571428572857143