无环形链的颜色冲突构形转型交换最大转型次数的证明

雷明85639720

无环形链的颜色冲突构形转型交换最大转型次数的证明
雷  明
（二○二一年二月二十四日）

证明四色猜测的关键问题是把一个无穷的问题转化成有穷的问题。平面图有无穷多个，任一个平面图的顶点也可以有无穷多个，一个图中各个顶点的度也可以是无穷大的。从不同的角度都说明了四色问题是一个研究对象是无穷的向题。但问题还要不要解决呢？还是要解决的。如何解决？就是把无穷问题转化成有穷问题。图论中有任何平面图中一定含有顶点度小于等于5的顶点，这就使得我们只要研究度是小于等于5的顶点作为待着色顶点的构形的可约性，来解决四色问题成为可能。着色过程中遇到了待着色顶点的度是大于5的顶点时，且其围栏顶点已占用完了四种颜色的颜色冲突情况时，就可以用“破圈法”把待着色顶点移到度是小于等于5的顶点上，也一定是可以移到的。这样就只研究五种度的顶点的可约性就可以了。这就把一个无穷问题转化成有穷问题了。度是1，2，3的顶点是不会出现颜色冲突问题的，这就又把研究对象由5种减少到了两种。4度顶点的颜色冲突问题，坎泊早已解决，用的就是相反链相互不能穿过的原理。这一下研究对象就只剩下5度顶点一种了。5度顶点的颜色冲突情况又分为两种，一是可以移去两个同色B的可的构形，二种是不可以移去两个同色B的构形。不可以移去西个同色B的构形也还可分为两种，一是有经过了关键顶点的环形链的构形，用断链交换法进行解决，二是无经过关键顶点的环形链的构形，用转型交换法进行解决。有环形链的构形又分为两种，一是有A—B环形链的构形，交换C—D链即可解决，二是有C—D环形链的构形，交换A—B链也即可解决。现在再没有不可避免的颜色冲突构形了，已有的也都已经是可约的了，四色猜测也就证明是正确的了。四色问题也就应该得到解决了。
再谈无经过关键顶点的环形链的颜色冲突构形的可约性问题：由于E族构形在转型交换时，是一个无穷循环转型的构形，且有小循环和大循环之别，小循环的周期是4次转型，大循环的周期是20次转形，5个小循环构成一个大循环。永不可能空出颜色来给待着色顶点。但E族构形中却都有经过了关键顶点的环形链，所以E族构形却可以用断链交换法使图转化成可约的构形，使颜色冲突问题得到解决。
而非E族构形中的有经过了关键顶点的环形链的构形，也因与E族构形同样都有环形链，所以也可以用断链交换法解决问题。
非E族构形中的无经过关键顶点的环形链的构形，因无环形链而不能用断链交换法，而只能采用连续转型交换法解决。也由于其没有环形链，相对于有环链的E族构形来说，也是不能用断链交换法的，而只能用连续转型交换法。且转型的次数不会是E族构型那样——无穷的循还转型，而应是有限次的且非循环的连续转型。
E族构形的小循环周期是4次转形，那么只要不构成第二个循环周期——8次转型，就不会产生构形峰点类型的循环。所以连续转型的转型次数是不会大于7次的。现在，有限次转型次数的上界值已经确定，然后再用逆否命题与原命同真同假和逆命题与原命是同真，逆命题是真是原命题成立的充要条件进行逻辑证明，就可以了。
无经过关键顶点的环形链的颜色冲突构形转型次数的有限性可以这样证明。
设A是某类构形经有限次转型。B是可以转化成可约构形。可约构形在这里是指可以连续的移去两个同色的构形，或含有经过了关键顶点的环形链的构形。
则原命题从A到B是：无环形链的构形经有限次转型就可以转化成可约的构形。其逆否命题从—B到—A是：通过转型转化不成可约构形的构形一定是无穷转型的构形。这个逆否命题是真的，具体的说就有E族构形是这样的。E族构形转型次数的确是无穷的，永远也不可能通过转型转化成可约构形。
根据原命题与逆否命题具有同真同假的性质，可以判定原命题无环形链的构形经有限次转型可以转化成可约构形的命题是真命题。
现在可以进行验证如下。
其逆命题从B到A是：可以通过转型转化成可约构形的构形的转型次数一定是有限的命题是真命题。无环形链的非E族构形就是这样的。
原命题与逆命题同真，说明逆命题为真是原命题成立的充要条件。没有逆命题成立，原命题一定不成立，有了逆命题成立，则原命题一定成立。这就用不同的方法都证明了有环形链的构型的转型次数一定是有限的结论是正确的。
无环形链的颜色冲突构形的最大转型次数的上界7次是这样确定的。由于其转型次数已证明是有限的，所以象E族构形那样的大循环套小循环的无穷转形是不存在的，只有小循环而无大循环的无穷转型也是不可能存在的。总之，只要是无穷转型都是不可能存在的。那么这类构形的转型就只有在E族构形的第二个小循环周期形成之前结束。因也转型次数达到8次时，就会出现小循环现象。两个小循环周期共计是8次转型。在两个周期之前，结束转型，那么，最大转型次数的上界值就是7次了。着色的实践也己经证明了该类构形的确是在7次转型之内就可以解决问题的。
以上两点就是我对无环形链的构形转型次数的有限性的证明。先证明经有限次转型就可以转化成可约构形的结论是正确的，再证明最大转型次数的上界值是7次。

雷  明
二○二一年二月二十四日于长安

注：此文已于二○二一年二月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：