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求证:
C(n,1)+C(n,2)*2+C(n,3)*2^2+C(n,4)*2^3+C(n,5)*2^4+……+C(n,i)*2^(i－1)+……+C(n,n)*2^(n－1)=(1/2)*(3^n －1)
其中，C(n,i)表示从n个元素中取出i个元素的组合数。
证明:据二项式公式
(1+2)^n=1+C(n,1)*2+C(n,2)*2^2+C(n,3)*2^3+……+C(n,n－1)*2^(n－1)+C(n,n)*2^n
等式两边同除以2得，
(1/2)*(1+2)^n=(1/2)+C(n,1)*1+C(n,2)*2^1+C(n,3)*2^2+……+C(n,n－1)*2^(n－2)+C(n,n)*2^(n－1)
∴C(n,1)*1+C(n,2)*2^1+C(n,3)*2^2+……+C(n,n－1)*2^(n－2)+C(n,n)*2^(n－1)=
(1/2)*(1+2)^n－(1/2)=(1/2)*(3^n－1) |
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发表于 2021-2-25 15:15
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