给定 y 轴正半轴上 A,B 两点，在 x 轴正半轴上求一点 C，使得 ∠ACB 最大

doletotodole

这个问题可以用圆解, 是否有其它的方法?
求大神.

luyuanhong

波斯猫猫

思路：设OA=a，AB=b，OC=x，∠ACO=α，∠BCO=θ，α和θ皆为锐角，则tan（α+θ）=（a+b）/x，

tanα=a/x。消去x得，tan（α+θ）/tanα=（a+b）/a。所以，tanθ=btanα/[（a+b）(tanα)＾2+a]

=b/[（a+b）tanα+a/tanα]≤b/[2√[a（a+b）]。等号成立的条件是当且仅当tanα=√[a/（a+b）]，

即x=a（a+b）时，tanθ（是增函数）取得最大值，即θ取得最大值。故所求的点C（√[a（a+b）]，0）。

doletotodole

luyuanhong 发表于 2021-2-25 21:26

谢谢lu教授.
这个解法我回去也练一练.

我花了1个多小时, 用几何思路思考外接圆半径的变化, 目前还是想不出来.
我知道 由正弦定理得知 外接圆半径决定了这个角的变化规律.

随着C点的变化, 三角形的变化规律是, 一边已知, 另外两边其实都是C点决定的.
于是我利用三边求外接圆半径, 结果发现如下2个公式原来是先增后减, 当然我证明不了.



又回到了代数模式.

但是从中垂线实在找不出规律, 因为2个中垂线都是变化的. 头疼.

lu教授能否点拨一下我这样的思路哪里出问题了? 谢谢

doletotodole

波斯猫猫 发表于 2021-2-25 22:13
思路：设OA=a，AB=b，OC=x，∠ACO=α，∠BCO=θ，α和θ皆为锐角，则tan（α+θ）=（a+b）/x，

tanα=a/ ...

谢谢解答, 波斯老师的解答我回去一定亲自算一算.

楼上的疑惑能否帮忙看看, 我虽然代数不强, 但我更怕几何.

波斯猫猫

另一思路：设OA=a，AB=b，OC=x，显然△ACB的面积S满足（C为锐角）

2S=√[x＾2+a＾2]√[x＾2+（a+b）＾2]sinC=bx，即sinC=bx/√[x＾2+a＾2]√[x＾2+（a+b）＾2]

=b/√[x＾2+a＾2（a+b）＾2/x＾2+a＾2+（a+b）＾2]≤b/（2a+b）＾2。

等号成立的条件是当且仅当x=√[a（a+b）]时，sinC（是增函数）取得最大值，即C取得最大值。故所求的点

C（√[a（a+b）]，0）。

注：解决问题，根据题目所显示的特征或特点，首先应考虑较适合自己的思维且较简便的方式方法。除特别限制外，一般不应强求使用某种方法。比如，这个思路就可以说采用的是“面积法”。

王守恩

\(当\  ∠ACO= ∠OBC\ 时， ∠ACB\ 取得最大值，展开就是"射影定理"。\)
\(即： \frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}\ \ 或： OC是OA与OB的比例中项。\)

doletotodole

波斯猫猫 发表于 2021-2-26 07:16
另一思路：设OA=a，AB=b，OC=x，显然△ACB的面积S满足（C为锐角）

2S=√[x＾2+a＾2]√[x＾2+（a+b）＾2] ...

谢谢博士老师, 学习了.

luyuanhong

doletotodole

luyuanhong 发表于 2021-2-27 18:44

明白了, 谢谢lu教授.

您那个临界的解释非常细节, 我还是分析的不够细致.

谢谢.