直角三角形 ABC 中，D 是 BC 上一点，DC=7，BD=8，∠ADC=3∠BAD，求 AB 的长度

天山草@

下图中，ABC 是直角三角形，DC = 7,  BD = 8,  \( ∠ADC=3∠BAD\),  求 AB 的长度。





答案： AB=20

王守恩

\(延长\ CB \ 至 \ E，使\  BE=BA=x，则\)
\((x+8+7)\tan\theta=(8+7)\tan2\theta=7\tan3\theta\)

波斯猫猫

思路：作DE∥BA交AC于E，令CE=7a，则EA=8a。由锐角三角函数的定义有tan2θ=a，tan3θ=15a/7。

消去a，解得tanθ=1/√7。从而tan2θ=a=√7/3。进而AB＾2=15＾2+（15a）＾2

=15＾2+（15×√7/3）＾2=20＾2，即AB=20。

天山草@

用 mathematica 计算的程序代码如下：

1. FullSimplify@
   
2. Solve[{Tan[3 \[Theta]] == AC/7, Tan[2 \[Theta]] == AC/15,
   
3.    AC > 0 && 0 < \[Theta] < \[Pi]/2}, {AC, \[Theta]}]

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luyuanhong

楼上 天山草@ 的帖子很好！已收藏。

王守恩

天山草@ 发表于 2021-2-28 21:13
用 mathematica 计算的程序代码如下：

\(设\ AB=x\ \ \ \ AC=y\)
\(【方法一】(相似形)\)
\(y^2=x^2-15^2\ \ \ \ \frac{8^2}{y^2+7^2}=\frac{y^2+7^2}{(x+8)^2}\)
\(化简可得一个 \ 2\  次方程：x^2-8x-240=0\)
\(【方法四】(AB是角平分线)\)
\(y^2=x^2-15^2\ \ \ \ \frac{8^2}{x^2}=\frac{y^2+7^2}{y^2+(x+15)^2}\)
\(是一个 \ 3\  次方程：x^3-304x-1920=0\)
\(求助：怎么化简(怎么也归不到\ 2\ 次去!)？怎么解？大家可有好的方法？\)

doletotodole

波斯猫猫 发表于 2021-2-28 14:38
思路：作DE∥BA交AC于E，令CE=7a，则EA=8a。由锐角三角函数的定义有tan2θ=a，tan3θ=15a/7。

消去a，解 ...

灵魂数学家, 厉害. 学习了.

FGNBGHJUOI

这是个好帖子，大神众多，天山草@的解析严谨详细，收藏了

数学小白新

新手学习一下。