证明方程 2^x=x^2+1 有无理数解

波斯猫猫

证明方程2＾x=x＾2+1有无理数解。

wangyangke

x=0是一个根；此外

证    x无有理解； 设x为有理数分数，则方程的左侧、右侧分别是无理数、有理数，方程不成立。由是，假设错误。

liangchuxu

各位高手多多指教。

波斯猫猫

证明方程2＾x=x＾2+1有无理数解。

证：因2＾4＜4＾2+1，2＾5＞5＾2+1，所以方程2＾x=x＾2+1在区间（4,5）内必有实数解。

假设实数解为有理数，设其为q/p，且q与p互素，4＜q/p＜5，则2＾（q/p）=（q/p）＾2+1，

即p＾2(2＾q)＾(1/p)=p＾2+q＾2。令q=4p+r（0＜r＜p），则p＾2[2＾(4p+r)]＾(1/p)=p＾2+q＾2，

或16p＾2.(2＾r)＾(1/p)=p＾2+q＾2，即(2＾r)＾(1/p)=（p＾2+q＾2）/(16p＾2)，其中0＜r＜p。

显然，左右两边分别是无理数和有理数。矛盾。故方程2＾x=x＾2+1有无理数解。

luyuanhong

楼上 各位 的解答很好！已收藏。

风花飘飘

证明方程 2^x=x^2+1 有有理数解。
证明方程 2^x=x^2+1 有无理数解。
证明方程 2^x=x^2+1 有解。
都是可以的。

所以本题比较算是战斗机中的垃圾！

风花飘飘

wangyangke 发表于 2021-3-2 05:42
x=0是一个根；此外

证    x无有理解； 设x为有理数分数，则方程的左侧、右侧分别是无理数、有理数，方程 ...

望羊客是屎？
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 2&fromuid=39729

风花飘飘

方程 t=r^x-sx 的解为 x=[-sWn(……)-tlnr]／(slnr)，请教这个 Wn 是个什么玩物儿？
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 4&fromuid=39729
(出处: 数学中国)