已知 A(2,0),B(-1,0) ，P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点，求 PA+PB-OP 的最小值

FGNBGHJUOI

没思路了

天山草@

图中所画 P 点的位置，正是最小值所在的地方。

代数式列出来了，如何人工求出其最小值，还没有想出来。

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知 A(2,0),B(-1,0) ，P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点，求 PA+PB-OP 的最小值 。

思路：令PA=x，PO=z，PB=y，则由条件和余弦定理有x＾2=z＾2+4-4zcos∠AOP，

y＾2=z＾2+1-2zcos∠AOP。由此有x＾2+2y＾2=3z＾2+6。令x+y-z=r（∠AOP是钝角，r＞0），

则x＾2+2y＾2=3（x+y-r）＾2+6。将此式整理得y＾2+6（x-r）y+2x＾2-6rx+3r＾2+6=0。

所以判别式36（x-r）＾2-4（2x＾2-6rx+3r＾2+6）≥0，即7x＾2-12rx+6r＾2-6≥0。

所以，此不等式的判别式144r＾2-7×24（r＾2-1）≤0。解得r≥√7。故 PA+PB-OP≥√7。

天山草@

天山草@ 发表于 2021-3-3 22:23
图中所画 P 点的位置，正是最小值所在的地方。

代数式列出来了，如何人工求出其最小值，还没有想出 ...

噢，我把 3√3  看成了 3/√3。

如果题目改成  y=3/√3 * x=√3 * x，有没有几何方法做这个题呢？  

波斯猫猫

把直线 y=3√3x 换成直线 y=kx （k＞0）也可得出同样的结论。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

FGNBGHJUOI

天山草@ 发表于 2021-3-3 22:23
图中所画 P 点的位置，正是最小值所在的地方。

代数式列出来了，如何人工求出其最小值，还没有想出 ...

谢谢大神，辛苦了

FGNBGHJUOI

luyuanhong 发表于 2021-3-4 00:48

谢谢大神，辛苦了

FGNBGHJUOI

波斯猫猫 发表于 2021-3-4 11:19
题：已知 A(2,0),B(-1,0) ，P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点，求 PA+PB-OP 的最小值 。

思路：令PA ...

谢谢大神，辛苦了