过圆内非圆心的一点作夹角都是 45° 的分割线，问：图中红色面积与蓝色面积哪个更大？

永远

ccmmjj

怎么还没人做？这个问题我以前想过，答案是相等。当时用什么方法，我一下想不起来了。

王守恩

ccmmjj 发表于 2021-3-8 09:14
怎么还没人做？这个问题我以前想过，答案是相等。当时用什么方法，我一下想不起来了。

答案是相等的？好像不对吧？如果是相等的话：只要圆心不变，
大圆(图外), 小圆(图内), 大小圆中间夹的圆环，都可以是相等的？
圆周也是被平分的？

ccmmjj

王守恩 发表于 2021-3-10 05:53
答案是相等的？好像不对吧？如果是相等的话：只要圆心不变，
大圆(图外), 小圆(图内), 大小圆中间夹的 ...

圆内角定理
如图：蓝角位于圆外，红角位于圆内。它们所对的弧都是　α  ，   β（α>β）。α  ，   β也是用弧所对的圆心角来表示。于是有以下结论：
蓝角＝（α－β）/2 ; 红角＝（α + β）/2 ，或者　红角+蓝角＝α；红角－蓝角＝β。

参考原贴
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =%D4%B2%C4%DA%BD%C7

ccmmjj

我先做出证明的第一步，证明的第二步非常规，让喜欢几何的朋友也想一想。

注：图中单位圆的意义是直径为1的圆，即单位正方形的内切圆。

kanyikan

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elim

泰国散打：

ccmmjj

elim用微分原理来处理这个问题，确实有想法。
如果上式  |PG|+|PF|+√2|AP|=|PE|+|PH|+√2|BP| 能成立，即有 ⊿ A=0。
但这个思路，参数很难找，算式很难列。
我的证明第二步，用的是积分原理（达布和），其实也是祖搄原理的延拓，elim兄稍加思考，怕是一下就想得到。

elim

从解析几何的观点看, 它们应该是等价的。

ccmmjj

现在我来证明主贴的结论：

答：相等。现在我开始证明的第二步。先以圆心为心，过交点作一圆，设交点为P，小圆各线交于A、B、C、D。
        如5楼的第一步证明，圆内两色面积相等。如下图，我们将已证相等的圆内部分挖空。

现在我们要证明的就变成圆环被分成的这8个部分中两色的面积相等，做上标记，即要证明
区域面积  ①+③ +⑤ +⑦=②+④+⑥+⑧ ，
其实，我们可以证明更强的结论：区域面积  ①+⑤=③+⑦=②+⑥=④+⑧。
为了方便起见，我们只证明 ①+⑤=②+⑥；如下图，以圆心为心，在环(外径为R，内径为r）中任做一圆。

以12表示此圆在区域①的弧，用23表示在②的弧，56此圆在区域⑤的弧，67此圆在区域⑥的弧。
由4楼所引的圆内角定理，可知，这些同圆（设半径为x,r≤x≤R)上的
弧12+弧56=弧23+弧67=πx/2。
如果我们将祖搄原理推广到圆弧，自然就得到区域面积①+⑤=②+⑥相等。为了避免质疑，当然还是用积分描述一下为好。
现在我们考虑弧的宽度dx,，就会得到面积微元  πx/2 ·dx,对它从  r  到 R 积分，就会得到
面积  ①+⑤=②+⑥=π（R^2-r^2)/4。
这样我们就完成了证明。