四边形对角线 AC,BD 交于 O，∠BAC=∠DAC，CB=CD，M,N 为 OB,CD 中点，证 ∠MAC=∠DMN

王广喜

题目如下：如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，∠BAC=∠DAC，CB=CD，点M、N分别为OB、CD的中点，求证：∠MAC=∠DMN

doletotodole

两个思路,
1, 做CP垂直到BD, 取AB中点O, 连接PO和MO
2, 做ABCD的外接圆, 圆心在CP上, CP是垂直BD, 出现4个角相等, i.e平分角大小
感觉都差一口气

王广喜

尝试一下。

王广喜

此题附加一个条件吧，AB＞AD

王守恩

王广喜 发表于 2021-3-17 16:49
尝试一下。

看似简单，实在不简单的题目！
华山一条道，挺细腻的解法
出题人费了心思，解题人也会有收获。
1，等腰三角形BCD(任意)，都有一个外接圆
A是底边BD对应圆周上任意的点，连接AD，
则AD肯定是∠BAD的平分线
2，求证也可改： ∠AMN=∠ABC
3，四边形不是固定的，譬如：54°，120°，126°，60(30+30)°

王守恩

王广喜 发表于 2021-3-17 16:49
尝试一下。

我喜欢用三角函数解题(笨一点，只要有耐心就行)
\(记∠OAB=∠OAD=∠OBC=∠ODC=a\)
\(\ \ ∠OBA=∠OCD=b\ \ ∠OAM=x\ \ ∠DMN=y\)
\(BC=CD=\sin(a)\ DA=\sin(b)\ \ AB=\sin(2a+b)\ \ BD=\sin(2a)\)
\(1，\frac{OM}{\sin∠OAM}=\frac{AO}{\sin∠AMO}\)
\(即：\frac{\sin(2a+b)\sin(a)/(2\sin(a+b))}{\sin(x)}=\frac{\sin(2a+b)\sin(b)/(\sin(a+b)}{\sin(a+b-x)}\)
\(化简：\frac{\sin(a)}{\sin(x)}=\frac{2\sin(b)}{\sin(a+b-x)}\ \ \ \ (1)\)
\(2，\frac{DN}{\sin∠DMN}=\frac{MD}{\sin∠MND}\)
\(即：\frac{\sin(a)/2}{\sin(y)}=\frac{\sin(2a)-\sin(2a+b)\sin(a)/(2\sin(a+b))}{\sin(a+y)}\)
\(化简：\frac{\sin(a+b)}{\sin(y)}=\frac{\sin(2a+b)+2\sin(b)}{\sin(a+y)}\ \ \ (2)\)
\(3，再化简，可得恒等式：\frac{2\cos(a)\sin(a+b)}{\sin(2a+b)+\sin(b)}\equiv1\)

luyuanhong

楼上 王广喜 的证明很好！已收藏。下面是我的另一种证法：