关于拉格朗日乘数法的一个问题

wufaxian

我看过至少两个老师讲的拉格朗日乘数法。都大致基于以下思路。讲授一般是通过例题给出，例如：求xy=3到原点距离最近的点的坐标。于是该问题转化为
距离函数f(x,y)=x^2+y^2   和  约束函数 g(x,y)=xy=3。求距离函数f在满足约束函数g的约束条件的前提下求f最小值的问题！

从图中可知最小值出现在f与g相切的哪一点。共切点则共切线，共切线则法线平行，于是后面根据法线平行，引出了拉格朗日系数。后面不再赘述。

我的困惑在于，上面的例子过于理想化(为了教学的形象化，找理想化的例子没问题)。但是这种特殊例子得出的结论是否具有普遍性呢？

假设我们换一种表述。不是求g(x,y) 距离原点最近的那一点的坐标。我们直接给一道题 求f(x,y)的极值，同时x，y 满足 g(x,y)=C， C是常数。g是约束函数。f可以是任意函数，唯独不是x^2+y^2 的形式。那么拉格朗日乘数法还适用么？

例题的逻辑思路是：
1、求g(x,y)上到原点距离最短的点的问题 ，转化为求f(x,y)在满足g(x,y)约束的情况下求f(x,y)极值的问题。
2、求f(x,y)极值的问题，转化为f(x,y)与g(x,y)切点的问题。前提是f(x,y)是一个距离函数！！！！
3、切点问题转化为共切线。
4、共切线问题转化为法线平行的问题！
5、法线平行引出拉格朗日乘数法。

但是一旦f(x,y)，不再是一个距离函数，那么f(x,y)极值点还一定是f(x,y)和g(x,y)的公共切线的交点么？如果不是，那么后面的3-5步是不是都不成立了？那么拉格朗日乘数法是不是有使用限制呢？

如果我的担忧是多余的。是否有什么几何的讲授方法可以打消这种对普遍性的顾虑呢？