偶数表为两个素数和的数量的波动性的产生原因

愚工688

偶数表为两个素数和的数量的波动性的产生原因

这是自然数中的数除以任何素数的余数呈现周期性变化的结构特性所决定的。
自然数中的数：
除以2时的余数呈现出：0、1、0、1、0、1、…的周期性循环；
除以3时的余数呈现出：0、1、2、0、1、2、0、1、2、…的周期性循环；
除以5时的余数呈现出：0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、…的周期性循环；
除以7时的余数呈现出：0、1、2、3、4、5、6、0、1、2、3、4、5、6、0、…的周期性循环；
除以11时的余数呈现出：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,…的周期性循环；
……

素数的判断定理：不能被√x内的所有素数的数x即为素数。这是埃拉托色尼筛法，简称埃氏筛法。
而偶数2A分成的两个整数A±x是否能够成为素数对，同样要依据埃氏筛法来判断。
我们在筛选自然数N里面的素数时，常常采用不能被√N内的所有素数整除的筛法来判断，这与上面的单一素数的判断定理略有不同。因为这里判断的素数都只依据√N内的所有素数来判断，而不是采用被判断的数x的√x内的所有素数。
艾拉托尼筛法能够正确筛选出在(√N,N]之内的全部素数ps1，全部N内的全部素数Ps，应该加上作为筛子的≤√N 的所有素数ps2。
  即N内的全部素数  Ps=ps1+ps2

由于偶数2A分成的两个整数，必然形成A±x的形式，因此能够构成素数对A±x的x的取值必然与A密切关联。
判断偶数2A的能否构成素对A±x，也是两种不同的条件：
条件a ：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，成为素数对；
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数也都是素数。
如同筛选在自然数N里面的素数情况类似，偶数M的构成符合条件a的素对数量S1是偶数表为两个素数和的主要部分，是能够用连乘式进行近似计算的；
而偶数M的构成符合条件b的素对数量S2则没有一定的规律性，不具有可计算性，可能有，也可能S2=0 。其最多数量相对条件a的数量在素对总数S(M)中的占比，会随偶数的增大，而越来越小。
因此我们在讨论大偶数素对总数时，可以把符合条件a的素对的计算式当作素对总数的计算式，而把可能存在的符合条件b的素对数量仅仅当作影响计算值的相对误差的影响因素之一。

偶数M表为两个素数和的表法数变化的主要因素——素因子系数 K(m)

要筛选自然数区域[0，A-2]中间能够构成素对A±x的x值，必然要考察A与x对除以√(M-2)内的全部素数的余数关系：
把A除以素数2，3，…,n,…，r时的余数记为j2,j3,…，jn,…，jr，那么
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于j2,j3,…，jr中的某个值时，那么A-x必然能够被该值所对应的素数整除；
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于A除以某个素数n余数的补数(n-jn)时，那么A+x必然能够被该素数n整除。

因此，当x值除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的数，必然能够与A构成偶数的符合条件a的素对A±x;
（j2,j3,…，jr系A除以素数2，3，…，r时的余数。）
因为从自然数除以素数的余数周期变化的数列中，排除了部分余数后必然会余下其它的余数的x值，而与A构成素对 A±x。

由于在自然数列中的数，除以任意一个素数时的余数都是以该素数值的周期而循环变化的，除以任意二个素数j,k时的余数变化是分别独立的，即
除以素数j余数等于ji的数的发生概率为1/j;  (ji=0,1,2,3,…，j-1;)
当A含有某素数n时，jn=0,此时余数(n-jn)=0,因此不能被n整除的（A±x）的x占比为（n-1)/n ；
当A不含有某素数n时，余数jn与(n-jn)互余，因此不能被n整除的（A±x）的x占比为（n-2)/n ；
两者之比kn=（n-1)/（n-2)。
当A含有多个素因子时，依据概率的乘法定理，有 K=k1*k2*k3*….
当然这个含有多个素因子里面不包括大于√M的素因子，因为其没有参与素数对的筛选。
这就是素因子系数K(m)的来历，其反映了A含有的奇素因子对于偶数2A的素对数量的波动作用。

图示:素因子系数K(m)与素对计算值、真值S1(m)、S(m)的同步变化图形

重生888@

分析透彻！但偶数越大，误差越大，就要动态修正，M越大，根号M内的因子分解难度增加。

重生888@

祝贺愚工先生理论全面提升！

愚工688

计算误差主要看相对误差，而不能看绝对误差。
小偶数的素对数量底数少，相差几个的相对误差就比较大了；
大偶数的素对数量的底数比较多，相差千百个的相对误差并不一定大。

G(20210318) = 53459；
inf( 20210318 )≈  53124.6 , Δ≈-0.006255,infS(m) = 52901.36 , k(m)= 1.00422
G(20210320) = 77744；
inf( 20210320 )≈  76947.5 , Δ≈-0.010245,infS(m) = 52901.37 , k(m)= 1.45455
G(20210322) = 119919；
inf( 20210322 )≈  118470.5 ,Δ≈-0.012079,infS(m) = 52901.37 , k(m)= 2.23946
G(20210324) = 53649；
inf( 20210324 )≈  52952.6 , Δ≈-0.012981,infS(m) = 52901.38 , k(m)= 1.00097
G(20210326) = 55879；
inf( 20210326 )≈  54929 ,   Δ≈-0.01700,infS(m) = 52901.38 , k(m)= 1.03833
G(20210328) = 107196；
inf( 20210328 )≈  105802.8 ,Δ≈-0.012997,infS(m) = 52901.39 , k(m)= 2
G(20210330) = 89923；
inf( 20210330 )≈  88672.8 , Δ≈-0.013903,infS(m) = 52901.39 , k(m)= 1.67619
G(20210332) = 56741；
inf( 20210332 )≈  55842.1 , Δ≈-0.015842,infS(m) = 52901.4 , k(m)= 1.05559
G(20210334) = 108672；
inf( 20210334 )≈  107109 ,  Δ≈-0.014383,infS(m) = 52901.4 , k(m)= 2.02469

大一些偶数（今天日期的百倍为随机偶数开始的连续偶数），虽然绝对误差值更大一点，但是相对误差绝对值更小，也就计算精度更高：

G(2021032600) = 4440571；
inf( 2021032600 )≈  4414680.1 , Δ≈-0.00583,infS(m) = 3188787.3 , k(m)= 1.38444
G(2021032602) = 6526391；
inf( 2021032602 )≈  6485669.1 , Δ≈-0.00624,infS(m) = 3188787.31 , k(m)= 2.0339
G(2021032604) = 3208232；
inf( 2021032604 )≈  3188787.3 , Δ≈-0.00606,infS(m) = 3188787.31 , k(m)= 1
G(2021032606) = 3233991；
inf( 2021032606 )≈  3211945.5 , Δ≈-0.00682,infS(m) = 3188787.31 , k(m)= 1.00726
G(2021032608) = 7812280；
inf( 2021032608 )≈  7764187.2 , Δ≈-0.00616,infS(m) = 3188787.32 , k(m)= 2.43484
G(2021032610) = 4356573；
inf( 2021032610 )≈  4326307.9 , Δ≈-0.00695,infS(m) = 3188787.32 , k(m)= 1.35673
G(2021032612) = 3208092；
inf( 2021032612 )≈  3188787.3 , Δ≈-0.00602,infS(m) = 3188787.32 , k(m)= 1
G(2021032614) = 6457712；
inf( 2021032614 )≈  6419534.5 , Δ≈-0.00591,infS(m) = 3188787.32 , k(m)= 2.01316
G(2021032616) = 3209709；
inf( 2021032616 )≈  3188787.3 , Δ≈-0.00652,infS(m) = 3188787.33 , k(m)= 1
G(2021032618) = 3652119；
inf( 2021032618 )≈  3628556.0 , Δ≈-0.00645,infS(m) = 3188787.33 , k(m)= 1.13791

yangchuanju

愚工688 发表于 2021-3-26 11:29
计算误差主要看相对误差，而不能看绝对误差。
小偶数的素对数量底数少，相差几个的相对误差就比较大了；
...

愚工688老师在其博客《高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例》多次声明，“素对真值s(m)=G(M)系网友Ktprime 的高速筛选素对程序”，老师能否分享Ktprime老师的程序？或提供其网址！

重生888@

愚工688 发表于 2021-3-26 11:29
计算误差主要看相对误差，而不能看绝对误差。
小偶数的素对数量底数少，相差几个的相对误差就比较大了；
...

告诉好友一个好消息，我又将正确率提高5/100；
令10000=N     e=2.71828
D(10000)=5/6*(N+eN/lnN)/(lnN)^2=127         原来等于119
D（2021032600）=5/6*（2021032600+2.718*2021032600/ln2021032600）/(ln2021032600)^2
                            =4133763            4133763/4440571=0.930928
估计2021032620=（4133763*2）/0.930908=8881141

愚工688

你自己的计算式原来能够达到的计算精度是多少，我不清楚，估计你自己也不清楚。
一般讲，每个计算式计算不同偶数的素对计算值的精度都是波动的，可能有的偶数精度高些，有的低些。因此说，“我又将正确率提高5/100”这种说法并不科学。

比如：连乘式的计算
M= 10000   S(m)= 127   S1(m)= 125  Sp(m)≈ 127.606 δ(m)≈ .047 K(m)= 1.33   r= 97
* Sp( 10000)=[( 10000/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)*( 29/ 31)*( 35/ 37)*( 39/ 41)*( 41/ 43)*( 45/ 47)*( 51/ 53)*( 57/ 59)*( 59/ 61)*( 65/ 67)*( 69/ 71)*( 71/ 73)*( 77/ 79)*( 81/ 83)*( 87/ 89)*( 95/ 97)= 127.606
但是并不说1万附近的每个偶数的计算值相对误差都在0.05左右。
在10002——20000的全部偶数的素对计算值的统计计算中：
M=[ 10002 , 20000 ]   r= 139  n= 5000  μ=-.0315 σx= .0361  δmin=-.1603 δmax= .1017
最小的相对误差： δmin=-.1603
最大的相对误差： δmax= .1017
而平均相对误差： μ=-.0315；

因此如果你的计算公式能够达到的计算精度水平你自己没有掌握的话，那么只能说你的说法没有可信度。

愚工688

yangchuanju 发表于 2021-3-26 03:47
愚工688老师在其博客《高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例》多次声明，“素对真值s(m)=G(M) ...

网友Ktprime 的高速筛选素对程序是他赠予我的，我的理解是我只有使用权，没有其它的分享、扩散出去等权利。毕竟该筛选素对程序的知识产权不属于我的。
因此你最好的方法是设法联系网友Ktprime先生。我是在百度吧偶遇他的。

重生888@

愚工688 发表于 2021-3-27 19:30
你自己的计算式原来能够达到的计算精度是多少，我不清楚，估计你自己也不清楚。
一般讲，每个计算式计算不 ...

谢谢好友的点评！我原来：
D（10000）=5/6*（10000+2*10000/ln10000）/(ln10000)^2=119       119/127=0.941
D（10000）=5/6*（10000+2.71828*10000/ln10000）/(ln10000)^2=127       127/127=1
因此，能提高5/100.         也就是加大了补偿系数！

重生888@

如：网友提供数据                使用补偿系数2得                  使用补偿系数e得
G（1000000）=5402           4998/5402=0.92                  5225/5402=0.967
G（1000002）=8000           7497/8000=0.92                  7837/8000=0.97
G（1000004）=4039           3748/4039=0.92                  3918/4039=0.97
以上不是巧合，而是真正得到提高！