证明：(3+3×2^a)／[2^(a+b)-9]（a,b 为正整数）不可能是正整数

xfhaoym

我是证不出来。

a>=1,b>=1的正整数（a,b随便设置）

波斯猫猫

(3+3×2^a)／[2^(a+b)-9]（a,b 为正整数）是否可能是正整数？

这样的提问不大恰当。应该用下面语句提问。

1（判断性提问），(3+3×2^a)／[2^(a+b)-9]（a,b 为正整数）是否是正整数？（得到肯定回答或否定回答）
如果回答是（肯定），需证明。如果回答不是（否定），只需举出一个反例即可。
2（试探性提问），(3+3×2^a)／[2^(a+b)-9]（a,b 为正整数）一定是正整数吗？（得到一定或不一定回答）
如果回答一定，需证明。如果回答不一定，只需举一个是和一个不是的例子即可。

luyuanhong

题  证明：(3+3×2^a)／[2^(a+b)-9]（a,b 为正整数）不可能是正整数。

证  如果 (3+3×2^a)／[2^(a+b)-9] 是正整数，则分母必定是分子的正因数。

    分子可写成 3+3×2^a = 3×(1+2^a) ，是 3 与 1+2^a 的乘积。

    分母 2^(a+b)-9 显然不可能含有因数 3 ，它只可能是 1+2^a 的正因数。

    换句话说，1+2^a 必须是 2^(a+b)-9 的倍数。

    因为 2^(a+b)-9＞0 ，所以 2^(a+b)＞9 ，a+b＞log2(9)=3.1699… 。

    可见 a+b 至少是 4 。下面分情况讨论：

（1）当 a+b = 4 时，2^(a+b)-9 = 2^4-9 = 16-9 = 7 。

    这时 a 的最大值是 a = 3 ，但 1+2^a = 1+2^3 = 1+8 = 9 不是 7 的倍数。

    当 a≤2 时，1+2^a≤1+2^2 = 1+4 = 5＜7 ，也不可能是 7 的倍数。

（2）当 a+b = 5 时，2^(a+b)-9 = 2^5-9 = 32-9 = 23 。

    这时 a≤4 ，1+2^a≤1+2^4 = 1+16 = 17＜23 ，不可能是 23 的倍数。

（3）当 a+b = 6 时，2^(a+b)-9 = 2^6-9 = 64-9 = 55 。

    这时 a≤5 ，1+2^a≤1+2^5 = 1+32 = 33＜55 ，不可能是 55 的倍数。

（4）当 a+b = 7 时，2^(a+b)-9 = 2^7-9 = 128-9 = 119 。

    这时 a≤6 ，1+2^a≤1+2^6 = 1+64 = 65＜119 ，不可能是 119 的倍数。

  …………
     
    可以看出，这样一直下去，2^a+1 与 2^(a+b)-9 的差距会越来越大。

    所以，再下去始终会有 2^a+1＜2^(a+b)-9 ，2^a+1 不可能是 2^(a+b)-9 的倍数。

    这样，我们就证明了：(3+3×2^a)／[2^(a+b)-9]（a,b 为正整数）不可能是正整数。

xfhaoym

谢谢陆老师！