不含有经过关键顶点的环形链的5—轮颜色冲突构形转型交换次数的有限性的再研究

雷明85639720

不含有经过关键顶点的环形链的5—轮颜色冲突构形转型交换次数的有限性的再研究
雷  明
（二○二一年三十六日）

不含有经过关键顶点的环形链的BAB型构形中，因含有双环交叉链，使得A—C链和A—D链不可能进行交换；又因为构形中不含有经过了关键顶点的环形链，而使得A—B链和C—D链也不可能进行交换；且构形本身又是不可连续的移去两个同色的，所以B—C链和B—D链也不可能连续的进行交换。既然B—C链和B—D链不可连续的进行交换，那么我们先交换一个关于B的链，总应该是可以的。这种交换的结果使得构形峰点的位置和颜色都会发生改变，把BAB型的5—轮构形转化成了DCD型或CDC型的5—轮构形。所以把这种交换叫转型交换。
不含有经过了关键顶点的环形链的5—轮颜色冲突构形，既不是不含有双环交叉链的简单的、可约的、属于坎泊的K—构形的5—轮构形，又不是含有经过了关键顶点的环型链的复杂的、属于赫渥特的H—构形的5—轮构形；既不能用坎泊的K—交换法可以直接空出颜色的交换法进行解决，也不能用上面所说的只是为了使构形转化成不含有双环交叉链的断链交换法进行解决。那么就只有用最后一种能使构形的峰点位置和颜色都发生变化的转型交换法来解决了。
谈到转型交换法，就要先谈不含有任何连通链的（当然也就不含有双环交叉链）简单的、可约的、属于坎泊的K—构形的5—轮构形和含有经过了关键顶点的环型链的复杂的、属于赫渥特的H—构形的E—族5—轮构形在进行转型交换时的情况。这两种构形都是BAB型时，在进行转型交换时都是以BAB—DCD—ABA—CDC—BAB四次转型（逆时针方向转型）或以BAB—CDC—ABA—DCD—BAB四次转型（顺时针方向转型）为一个周期的无穷循环转型的构形；而这里我们所研究的构形却没有它们那样含有形成无穷循环转型的条件，既不是不含有任何连通链的K—构形,也不是含有经过了关键顶点的环形链的H—构形，所以是不会出现无穷循环转型现象的。其转型次数一定是有限的，且一定是不循环的。既然转型次数是有限的，就说明最后一次转型得到的构形再转型时就不可能再得到有双环交叉链的H—构形了，而是一个只有一条连通链的可约的K—构形，再进行一次空出颜色的交换，就一定可以空出一种颜色给待着色顶点着上。
既是有限次的不循环的转型，那么就一定会存在一个最大转型次数的上界来进行约束，无约束的转型就可能成为无穷转型的构形了。简单的可约的5—轮构形和复杂的E—族的5—轮构形都是以每四次转型为周期的无穷循环转形，而我们这里的构形在转型时，就应在以上两种构形转型时的第二个转型周期形成之前（即第八次转型之前），就要转化成可约的构形，才不至于出现无穷的循环现象。第八次转型之前的第7次转型，就是该类构形转型交换的最大转型次数的上界值。这里所说的可约构形，一是指可以连续的移去两个同色的可约构形，二是指有经过了关键顶点的环形链的约形，三是指以上两者同时具备的构形。这三种构形都是可以最多再只经过两次交换（连续两次空出颜色的交换或一次断链交换加一次空出颜色的交换）就可以空出颜色来给待着色顶点着上的构形。
转型交换的最大转型次数是有限次的逻辑证明：
现在，对以上的结论——转型交换的最大转型次数一定是有限次的——再用逆否命题与原命同真同假，以及逆命题与原命同真，逆命题为真是原命题成立的充要条件进行逻辑证明如下：
设A是“某类构形经有限次转型后”这句话。B是“可以转化成可约的构形”这句话。这里，某类构形是指“无经过关键顶点的环型链的构形”；可约构形是指“可以连续的移去两个同色的构形，或者含有经过了关键顶点的环形链的构形”；有限次指的是“7次转型”。
则原命题A到B是：无环形链的构形经有限次转型就可以转化成可约的构形。其逆否命题—B到—A是：通过转型转化不成可约构形的构形一定是无穷转型的构形。这个逆否命题是真的。具体的说就是有最简单的可约的5—轮构形和E族构形这样的例子存在。的确，最简单的5—轮构形和E族构形的转型次数都是无穷的，这两种构形永远也不可能通过转型转化成可约的构形。
根据原命题与其逆否命题具有同真同假的性质，可以判定无环形链的构形经过有限次转型是可以转化成可约构形的原命题是真命题。证毕。
现在，还可以进行验证如下：
原命题的逆命题B到A是：通过转型可以转化成可约构形的构形，其转型次数一定是有限的。这个逆命题也是真命题。无环形链的构形都是在有限次的转型内转化成可约构形的。原命题与其逆命题同真，说明其逆命题为真是原命题成立的充要条件。即没有逆命题成立，原命题一定不成立，而有了逆命题成立，则原命题也一定成立。
这就用不同的方法都证明了无环形链的构形的转型次数一定是有限次的结论是正确的。
到此，应该说四色猜测的证明就已经结束了，因为我们已经解决了各种情况下的不可避免构形的可约性的问题。四色猜测是正确的。
在对构形的分类过程中，都是采取了只有两种可能情况的办法，非此即彼，避免了漏洞的出现。
这就说明了我于1992年在陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会（西安空军工程学院）上所作《赫渥特图的4—着色》的学术论文报告最后所提出的“不画图不着色证明四色猜测”的想法是能够实现的。

雷  明
二○二一年三月二十六日于长安

注：此文已于二○二一年三月二十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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