证明：yz+zx+xy=a^2 为旋转曲面

惜缘夕蒂

证明yz+zx+xy=a^2为旋转曲面，要证明过程

luyuanhong

惜缘夕蒂

luyuanhong 发表于 2021-4-4 00:44

请问正交旋转变换是怎么个变换法，可以用配方的方法找出变换后的坐标吗？

luyuanhong

惜缘夕蒂 发表于 2021-4-4 21:52
请问正交旋转变换是怎么个变换法，可以用配方的方法找出变换后的坐标吗？

正交旋转变换的矩阵，必须是一个正交阵。

因为在本题的方程 yz+zx+xy=a^2 中，x,y,z 地位是同等的，直线 x=y=z 必定

是它的中心对称轴，我们自然会想到，应该将 x=y=z 的方向，也就是 (1,1,1)

作为变换后 Z 轴的方向向量。

变换后 X 轴的方向向量，必须与 Z 轴垂直，也就是要与 (1,1,1) 正交，我们就

在与它正交的向量中取一个比较简单的向量 (1,-1,0) 。

变换后 Y 轴的方向向量，要与 Z 轴和 X 轴同时都垂直，这个向量不能任意取，

但可以通过叉乘积求出：(1,1,1)×(1,-1,0)=(1,1,-2) 。

这三个向量，要作为正交矩阵中的行向量，不仅要互相正交，还必须是单位向量，

所以还要将它们单位化，变成：

  （1/√2,-1/√2,0)，(1/√6,1/√6,-2/√6)，(1/√3,1/√3,1/√3) 。

这样，就得到了本题中的正交旋转变换矩阵。也就是有变换式

       X=(x-y)/√2 ，Y=(x+y-2z)/√6 ，Z=(x+y+z)/√3 。

惜缘夕蒂

luyuanhong 发表于 2021-4-4 23:18
正交旋转变换的矩阵，必须是一个正交阵。

因为在本题的方程 yz+zx+xy=a^2 中，x,y,z 地位是同等的， ...

好的谢谢！