1+100^k-10^k必定是素数

太阳

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yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-18 21:23

999 111 101 901型整数的相互转换

在十进制系统中，999…99是各位整数中的最大数，111…11的各位数字都是1，人们对这类数字比较感兴趣。
令n是大于0的正整数，则10的n次方减1所得数字就是999…99，999…99全是合数。

一、999…99除以9，即得111…11
将999…99除以9，即得111…11，它的中间不再全是合数，但其中的素数并不太多，较小的几个素数是：11，1111111111111111111<19>，11111111111111111111111<23>。

二、分解111…11，即得100…01
若10的指数n = 2k是偶数，111…11可表示成(10^2k-1)/9 = (10^k+1)*(10^k-1)/9，即111…11<2k> = 100…01<k+1>*111…11<k>，尖括号中的数字或符号表示数字的位数，下同，不再一一说明。
已知的100…01型素数只有两个，及11和101。

三、分解111…11或100…01即得99…91…01型数
太阳先生近期特别关注100^a-10^a+1型整数，其中a是偶数，认为其中的某些数字“必定是素数”。
令a = 2、4、6……，则100^a-10^a+1 = 9901、99990001、999999000001……；现已查明，其中只有4个素数，分别是9901、99990001<8>、999999000001<12>、9999999900000001<16>；是否存在更多的本类素数，尚不清楚。
这4个素数分别含在111…11<12>、111…11<24>、111…11<36>、111…11<48>之中，分别含在100…01<7>、100…01<13>、100…01<19>、100…01<25>之中，
1000001 = 9901*101
100…01<13> = 99990001*10001
100…01<19> = 999999000001*1000001
100…01<25> = 9999999900000001*100000001
容易推知，合数999…90…001<20>、999…90…001<24>、999…90…001<28>、999…90…001<32>……分别含在111…11<60>、111…11<72>、111…11<84>、111…11<96>……之中，分别含在100…01<31>、100…01<37>、100…01<43>、100…01<49>……之中，
100…01<31> = 999…90…001<20>*100…01<11>
100…01<37> = 999…90…001<24>*100…01<13>
100…01<43> = 999…90…001<28>*100…01<15>
100…01<49> = 999…90…001<32>*100…01<17>
…………

四、999…90…001型正整数可整除100…01型正整数和清一色数
999…90…001型正整数可整除相应的100…01型正整数，100…01型正整数又可整除相应的111…11型清一色数，故999…90…001型正整数必能整除相应的111…11型清一色数。
1000001/9901 = 101
100…01<13>/99990001 = 10001 = 73*137
100…01<19>/999999000001 = 1000001 = 101*9901
100…01<25>/9999999900000001 = 100000001 = 17*5882353
100…01<31>/999…90…001<20> = 100…01<11> = 101 × 3541 ×27961
100…01<37>/999…90…001<24> = 100…01<13> = 73 × 137× 99990001
100…01<43>/999…90…001<28> = 100…01<15> =  29 × 101 × 281 × 121499449 >
100…01<49>/999…90…001<32> = 100…01<17> =  353 × 449 × 641 × 1409 × 69857
…………
111…11<12>/9901 = 11222211
111…11<24>/99990001 = 1111222222221111
111…11<36>/999999000001 = 111111222222222222111111<24>
111…11<48>/9999999900000001 = 11…2222…11<32>
111…11<60>/999…91…001<c20> = 11…2222…11<40>
111…11<72>/999…91…001<c24> = 11…2222…11<48>
111…11<84>/999…91…001<c28> = 11…2222…11<56>
111…11<96>/999…91…001<c32> = 11…2222…11<64>
…………
太阳先生在博贴《1+100^k-10^k必定是素数》之一中认定(10^a-1)/9若能被1+100^k-10^k整除，则1+100^k-10^k“必定是素数”，请问太阳先生除了上述前四式的分母是素数外，其余各式的分母1+100^k-10^k “也是素数”吗？

五、99…90…01型正整数可整除100^a-10^a+1型正整数
已知位数等于4、8、12、16的999…90…001型4正整数是素数，现对位数等于20、24、28……的999…90…001型正整数进行分解，仅取其中的位数等于20、40、60、80、100的各分解式粘贴于此：
合数999…001<20> = 61* 9901* 4188901* 39526741
合数999...001<40> = 99990001*100009999999899989999000000010001<p33>
合数999...001<60> = 181* 999999000001* 5524867403314917121546955801099447513812160221<c46>
合数999...001<80> = 1132716961*9999999900000001*8828330857844371944563819416490489012814384793166348641<c55>
合数999...001<100> = 61*9901*261301*3903901*4188901*39526741*39526741*168290119201*168290119201<p12>
*25074091038628125301<p20>*38654658795718156456729958859629701<p35>
= 999…91…001<c20>*261301*3903901*39526741*168290119201*168290119201<p12>
*25074091038628125301<p20>*38654658795718156456729958859629701<p35>
各个分解式中分别含有9901,99990001,999999000001,9999999900000001和999…91…001<c20>

太阳先生在博贴《1+100^k-10^k必定是素数》之二中认定1+100^a-10^a若能被1+100^k-10^k整除，则1+100^k-10^k“必定是素数”，在上述各式中，9901,99990001,999999000001都是1+100^a-10^a的素因子，它们能整除相应的1+100^a-10^a（分子）不必多说；只说合数99999999990000000001<20>也是1+100^a-10^a型合数99…91…01<100>的一个复合因子。
请相信，随着指数的不断增大，不仅素数9999999900000001<16>、合数99999999990000000001<20>可整除某些1+100^a-10^a（分子）外，合数999…90…0001<24>、合数999…90…001<28>也一定能整除某些1+100^a-10^a（分子），1+100^k-10^k“必定是素数”也肯定是错误的。
请太阳先生自己寻找这些“反例”吧！