自然数集合的两个重要性质

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定理1数学理论中的基本定理（自然数的两个重要性质）： ①在不受时间限制的理想条件下，任意大确定的自然数都是能够被人们写出的有限自然数；②全体（或称所有）自然数是人们永远无法写完其所有元素的想象性质的、理想性质的、非现实存在的理想自然数集合（简称为自然数集合）。证明从略。
这个定理是笔者在《全能近似分析数学理论基础及其应用》中提出的数学理论中的基本定理，它不仅涉及到所有无穷集合，还涉及几何基础、实变函数论与泛函分析、数学分析、概率论等所有数学理论的基础。这个定理不仅在现行数学理论中是没有的，而且从现行形式逻辑的观点来看是有矛盾的定理，事实上从定理的前一部分来看，有限自然数有无穷多，从定理的第二部分来看，全体有限自然数写不完，自然数就不能无穷多，因此可以说这个定理的两个部分是矛盾的、是违反形式逻辑法则的。但根据唯物辩证法来看是相容的、是不矛盾的：因为前者是在“时间无限”条件下讲的，它是一个有发展趋向性远景的理想性说法；后者是对任何确定的有限时间T讲的，它是一个现实性说法。这两个部分是符合唯物辩证法的对立统一的两个部分，它们之间相互依赖相互斗争才构成了活生生地有生命的数学理论。从这个定理的证明来看，不仅人们写不出,所有自然数，而且也存在着：在任何确定的有限时间内都有写不出的充分大自然数。这个定理的使用是唯物辩证法与纯形式逻辑方法的根本区别。这个定理涉及到无穷与无穷集合的概念，关于这个概念，王宪钧在他的《数理逻辑引论》]讲道“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的。潜无穷论者否定实无穷,认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的,无穷只是潜在的”。这说明：笔者的这个定理，既否定了依照康托儿的“数学必须肯定实无穷]”观点得到自然数集合是完成了的实无穷集合的论述，而且也否定了“不顾无穷次操作无法完成的无穷集合是可完成的潜无穷观点”。这样一来，ZFC形式语言公理体系中“无穷集合存在公理”、“需要无穷次操作的无穷选择公理”都是违反实践的 不能成立的公理。因此大于所有自然数的《非标准分析》中的无穷大自然数与小于一切正实数的实无穷小数的“非标准分析”模型理论（这个模型的提出应用了ZFC形式语言公理体系中的有争议选择公理）不成立。
笔者的这个定理的证明，应用了反证法，反证法以排中律为基础，所以也用了排中律。排中律是建立ZFC形式语言公理集合论的推理规则，但根据定理1，无穷次操作无法被实现，无穷次判断不是能行可判断问题；非能行判断问题 不是真假二值性逻辑问题，排中律不能成立，反证法不能使用。所以笔者曾指出：布劳维尔使用两次排中律得到实数理论的三分律反例的推导是违反排中律使用条件的错误推导；还指出：使用反证法得到“实数集合是不可列集”的证明是错误的。那么反证法究竟能不能使用呢？笔者认为：数学理论中的一切定理及其证明都必须根据“实践是检验真理的唯一最终标准”进行检验与应用的说明。笔者的这个定理1,不仅不在证明中不涉及不可判断问题，而且下文的应用说明：它是符合实践的、在整个数学理论都必须使用的、必要的定理。而且只有这样才可以彻底消除数学理论研究中的三次数学危机与许多悖论、怪定理。