在1,2,…,2021的排列中，满足a1＜…＜ai,ai＞a(i+1),a(i+1)＜…＜a2021的排列有几种？

wintex

請問數學

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-4-24 21:44

谢谢陆老师！精彩的答复!
谢谢wintex！挺不错的题目!
就这样过了，实在可惜，我来插几句。

从简单说起。
(1)，1,2,3 只出现 1 个 ＞ 号的排列有4种
    132,213,231,312,

(2)，1,2,3,4 只出现 1 个 ＞ 号
    1243,1324,1342,1423,
    与(1)相比：第1个数=1，后面的数=(1)的每个数+1。
(3)，1,2,3,4 只出现 1 个 ＞ 号
    1324,2134,2314,3124,
    与(1)相比：前面的数=(1)，第4个数=4。

(4)，1,2,3,4,5 只出现 1 个 ＞ 号
    12354,12435,12453,12534,
    与(1)相比：第1,2个数=1,2，后面的数=(1)的每个数+2。
(5)，1,2,3,4,5 只出现 1 个 ＞ 号
    12435,13245,13425,14235,
    与(1)相比：第1个数=1，中间的数=(1)的每个数+1，第5个数=5。
(6)，1,2,3,4,5 只出现 1 个 ＞ 号
    13245,21345,23145,31245,
    与(1)相比：前面的数=(1)，第4,5个数=4,5。

(7)，1,2,3,4,5,6 只出现 1 个 ＞ 号
    123465,123546,123564,123645,
    与(1)相比：第1,2,3个数=1,2,3，后面的数=(1)的每个数+3。
(8)，1,2,3,4,5,6 只出现 1 个 ＞ 号
    123546,124356,124536,125346,
    与(1)相比：第1,2个数=1,2，中间的数=(1)的每个数+2，第6个数=6。
(9)，1,2,3,4,5,6 只出现 1 个 ＞ 号
    124356,132456,134256,142356,
    与(1)相比：第1个数=1，中间的数=(1)的每个数+1。第5,6个数=5,6。
.......................

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-4-24 21:44

1!=1
2!=1+  1
3!=1+  4  +    1
4!=1+ 11 +   11   +    1
5!=1+ 26 +   66   +   26   +     1
6!=1+ 57 +  302  +  302  +    57    +    1
7!=1+120+ 1191 + 2416 +  1191  +  120  +    1
8!=1+247+ 4293 +15619+ 15619 + 4293 +  247  +  1
9!=1+502+14608+88234+156190+88234+14608+502+1
...................

在1,2,3,…,n 的排列中，只出现 1 个 ＞ 号的排列有几种？

LinearRecurrence[{4, -5, 2}, {1, 4, 11}, 28]

{1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752,
65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584,
16777191, 33554406, 67108837, 134217700, 268435427, 536870882,......}

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-4-24 21:44

在1,2,3,…,n 的排列中，只出现 m 个 ＞ 号的排列有几种？

1!=1
2!=1+  1
3!=1+  4  +    1
4!=1+ 11 +   11   +    1
5!=1+ 26 +   66   +   26   +     1
6!=1+ 57 +  302  +  302  +    57    +    1
7!=1+120+ 1191 + 2416 +  1191  +  120  +    1
8!=1+247+ 4293 +15619+ 15619 + 4293 +  247  +  1
9!=1+502+14608+88234+156190+88234+14608+502+1
...................

\(\ \ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}\ \ \frac{(m-k)^{n+m-1}\ \ \ }{\cos(k\pi)\ k!}\prod_{j=1}^k\ (n+m+1-j)+m^{n+m-1}\)

{{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},
{1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519,131054,262125,524268,},
{1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, 47840, 152637, 478271, 1479726, 4537314, 13824739, 41932745,},
{1, 26,  302, 2416, 15619, 88234, 455192, 2203488, 10187685, 45533450, 198410786, 848090912,},
{1, 57,1191, 15619, 156190, 1310354, 9738114, 66318474,423281535,2571742175,15041229521,},
{1, 120, 4293, 88234, 1310354, 15724248, 162512286, 1505621508, 12843262863, 102776998928,},
{1, 247,14608,455192,9738114,162512286,2275172004,27971176092,311387598411,3207483178157,},
{1, 502, 47840, 2203488, 66318474, 1505621508, 27971176092, 447538817472, 6382798925475,}}

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-4-24 21:44

1!=1
2!=1+  1
3!=1+  4  +    1
4!=1+ 11 +   11   +    1
5!=1+ 26 +   66   +   26   +     1
6!=1+ 57 +  302  +  302  +    57    +    1
7!=1+120+ 1191 + 2416 +  1191  +  120  +    1
8!=1+247+ 4293 +15619+ 15619 + 4293 +  247  +  1
9!=1+502+14608+88234+156190+88234+14608+502+1
...................

\(\ \ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{(m-k)^{n+m}(n+m+1)!}{\cos(k\pi)k!(n+m+1-k)!}+m^{n+m}\)

{{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},
{1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519,131054,262125,524268,},
{1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, 47840, 152637, 478271, 1479726, 4537314, 13824739, 41932745,},
{1, 26,  302, 2416, 15619, 88234, 455192, 2203488, 10187685, 45533450, 198410786, 848090912,},
{1, 57,1191, 15619, 156190, 1310354, 9738114, 66318474,423281535,2571742175,15041229521,},
{1, 120, 4293, 88234, 1310354, 15724248, 162512286, 1505621508, 12843262863, 102776998928,},
{1, 247,14608,455192,9738114,162512286,2275172004,27971176092,311387598411,3207483178157,},
{1, 502, 47840, 2203488, 66318474, 1505621508, 27971176092, 447538817472, 6382798925475,}}

王守恩

王守恩 发表于 2021-4-26 19:48
1!=1
2!=1+  1
3!=1+  4  +    1

将 n 个不同整数排成一排，每两个数之间有一个不等号(< 或 >)，出现 m 个 ＞ 号的排列有几种？

1!=1
2!=1+  1
3!=1+  4  +    1
4!=1+ 11 +   11   +    1
5!=1+ 26 +   66   +   26   +     1
6!=1+ 57 +  302  +  302  +    57    +    1
7!=1+120+ 1191 + 2416 +  1191  +  120  +    1
8!=1+247+ 4293 +15619+ 15619 + 4293 +  247  +  1
9!=1+502+14608+88234+156190+88234+14608+502+1
...................

\(\ \ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{(m-k)^{n+m}(n+m+1)!}{\cos(k\pi)k!(n+m+1-k)!}+m^{n+m}\)

{{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},
{1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519,131054,262125,524268,},
{1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, 47840, 152637, 478271, 1479726, 4537314, 13824739, 41932745,},
{1, 26,  302, 2416, 15619, 88234, 455192, 2203488, 10187685, 45533450, 198410786, 848090912,},
{1, 57,1191, 15619, 156190, 1310354, 9738114, 66318474,423281535,2571742175,15041229521,},
{1, 120, 4293, 88234, 1310354, 15724248, 162512286, 1505621508, 12843262863, 102776998928,},
{1, 247,14608,455192,9738114,162512286,2275172004,27971176092,311387598411,3207483178157,},
{1, 502, 47840, 2203488, 66318474, 1505621508, 27971176092, 447538817472, 6382798925475,}}