求证：∑(n=1,∞)n/2^(n+1)=1

awei

\[求证：\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n}{2^{n+1}}=1\]
\[或者求证：\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n}{2^{n}}=2\]

kanyikan

凭感觉，结论不难，陆教授又要切菜了。

awei

kanyikan 发表于 2021-4-21 23:27
凭感觉，结论不难，陆教授又要切菜了。

的确不难，稍微变化一下，用眼睛也看得出

luyuanhong

awei

luyuanhong 发表于 2021-4-22 11:04

谢谢陆老师回帖，我是这样想的，先把\(\frac{1}{2^n}\)变换成二进制的无限小数，类似十进制的1=0.9999……。
\[1/2  =  (0.011111111……)_2\]
\[1/4  =  (0.001111111……)_2\]
\[1/8  =  (0.000111111……)_2\]
\[1/16=  (0.00001111……)_2\]
\[1/32=  (0.000001111……)_2\]
\[1/64=  (0.000000111……)_2\]
\[………\]
然后再把它们加起来，不难看出
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}}=\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n}{2^{n+1}}=1\]

xfhaoym

希望awei稍微变化一下看看。

awei

xfhaoym 发表于 2021-4-22 12:14
希望awei稍微变化一下看看。

变成二进制无限小数，列竖式加起来那么明显，看不出来吗

xfhaoym

那可不是稍微变化一下，用了另一个系统！我可想不到。