求 a^3+2b^3=4c^3 的全部整数解

elim

题：求 \(a^3+2b^3=4c^3\) 的全部整数解.

波斯猫猫

题：求  a＾3+2b＾3=4c＾3的全部整数解.

分析仅供参考（x、y、z均为偶数）：若a、b、c都等于零，显然a=b=c=0是一组解。

若a、b、c不都等于零。

1，a、b、c中有一个或两个等于零，则由a＾3+2b＾3=4c＾3的指数“3”和系数的特征“1、2、4”

易知其无解。

2，a、b、c都不等于零，则a必是偶数，令a=2x，则有8x＾3+2b＾3=4c＾3，即4x＾3+b＾3=2c＾3。

这样，b必是偶数，令b=2y，则有4x＾3+8y＾3=2c＾3，即2x＾3+4y＾3=c＾3。

这样，c必是偶数，令c=2z，则有2x＾3+4y＾3=8z＾3，即x＾3+2y＾3=4z＾3。

这样，x必是偶数，令x=2t，......，这个过程将循环往复，以至无穷（事实上，x＾3+2y＾3=4z＾3与

a＾3+2b＾3=4c＾3本质上是同一个方程）。

此表明，若原方程此时有解，则其解必是a=±2＾r，b=±2＾e，c=±2＾s数型中的某种或某几种组合，

可惜r、e、s皆趋于无穷。

elim

若方程有不全为零的整数解\(\,(a,b,c)\), 设它们没有大于\(\,1\,\)的公约数。
由\(\,a^3+2b^3=4c^3\) 知\(\,2\mid a,\;a = 2a_1\,(a_1\in\mathbb{Z}).\) 代入方程得到
\(4a_1^2+b^3=2c^3.\,\)于是\(\,b=2b_1\,(b_1\in\mathbb{Z})\)进而得\(2a_1^2+4b_1^3=c^3\)
于是有\(\,2\mid c\). 这与\(\,\gcd(a,b,c)=1\) 的假定矛盾。可见方程没有非平凡
整数解。\((a,b,c)=(0,0,0)\) 是方程的唯一整数解。

luyuanhong

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