设\(0< a_{n+1}< a_n,\;\sum a_n\) 收敛. 求\(\lim na_n\)

elim

题：设\(\{a_n\}\) 是正项递减序列, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\) 收敛. 求\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}na_n\)

elim

题：试证\(\,(0< a_{k+1}< a_k < \sum a_n < \infty\;(\forall k))\implies( na_n\to 0).\)
证：据Cauchy准则,对\(\,\varepsilon\small>0,\,\)有\(\,m_{\varepsilon}\small\in\mathbb{N}\,\)使\(\,a_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{\small+\cdots+}a_n< \varepsilon\,\small(n>2m_{\varepsilon})\)
\(\quad\)因\(\{a_n\}\)递减,\(\;\frac{1}{2}na_n< \varepsilon\;(\forall n>2m_{\varepsilon}).\;\;\therefore\;\;\displaystyle{\lim_{n\to\infty}na_n =\small 0.}\small\;\;\square\)

luyuanhong

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elim

简单说来\(,\;\;0< (n/2)a_n \le\displaystyle\sum_{\lfloor n/2\rfloor\le k\le n}a_k\to 0\;\small(n\to\infty).\quad\square\)

elim

上面第一个不等号由\(a_n>0\)得到，第二个不等式从序列递减而来，
接着的极限号由级数收敛的 Cauchy 准则推出。

这题应该成为数学分析教科书的必选题. 教育意义十分明显。