已知对任何 a,b∈Z，只要 p｜ab ，就能推出 p｜a 或 p｜b ，证明正整数 p 一定是素数

惜缘夕蒂

对于a、b∈z，p|ab能推出p至少整除a、b其中一个怎么就能说明p一定是素数，比如令p=4，a=b=4，也满足前述关系，但p=4不是素数。求解

luyuanhong

题  设 p 是一个正整数，已知对任何 a,b∈Z，只要 p｜ab ，就能推出 p｜a 或 p｜b ，

证明 p 一定是素数。

证  用反证法。假设 p 不是素数，则必有大于 1 小于 p 的整数 a,b ，使得 p=ab 。

    这时显然有 p=ab｜ab ，但是因为 1＜a＜p ，1＜b＜p ，不可能有 p｜a 或 p｜b ，

这就与已知“对任何 a,b∈Z，只要 p｜ab ，就能推出 p｜a 或 p｜b”发生矛盾，所以

假设不成立，p 必定是素数。

注意  这个命题中“任何”两个字很重要。

    比如，你可以举例说 p=4 时，a=b=4 ，有 p｜ab 且 p｜a ，p｜b ，但 p 不是素数。

但这只是对“某些”a,b∈Z 成立，不是对“任何”a,b∈Z 成立，所以不能推翻命题。  

惜缘夕蒂

luyuanhong 发表于 2021-5-15 19:05
题  设 p 是一个正整数，已知对任何 a,b∈Z，只要 p｜ab ，就能推出 p｜a 或 p｜b ，

证明 p 一定是素数 ...

明白了！感谢回复