王元教授访问记

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王元教授访问记

作者 | 袁向东（中国科学院数学研究所)
来源 |《数学的实践与认识》1991年02期



1990 年 12 月 27 日，笔者访问了现任中国数学会理事长王元教授。他详细回答了笔者提出的各种问题，诸如他的学校生活、他与华罗庚的师生及合作关系、他对应用数学成果评价的看法，以及他今后的打算。现整理如下，以飨读者。文中的 Y 代表访问者，W 代表王元教授。

Y：王元教授，今天很高兴能访问你。我想开门见山。1990 年的陈嘉庚奖[1]中的物质科学奖，被两位数学家获得，就是你和华罗庚教授。在众多的竞争入选项目中，你们的“数论在数值分析中的应用“一举夺魁，应该说对数学界是个鼓舞。数学家的工作得到科学界的承认，并给予了很高的荣誉，你是否就此谈点感想。

W：数学放在物质科学范围内不完全合适。但现在陈嘉庚奖没单独设数学奖， 数学和物理、化学、天文、力学同归在物质科学名下。物质科学奖今年是第二次颁发，前年第一次获奖项目是超导和晶体方面的成果。

我们这项工作起步很早，50 年代末就开始，1977 年基本完成。1978 年出了书（中文版）。它的英文和日文译稿差不多同时完成。1981 年 Springer 出版社首先出了英文版。英文差不多是国际通用语言，日本人觉得没必要再出日文本，他们把译稿寄给了我。译者是名古屋工业大学教授江田义计，是日本文部省资助翻译的。

我觉得科学工作主要由时间来作最后的评判。得奖工作可能有点长处，但不是每项好的工作都一定得奖。没有得奖的工作中有些是很好的。

Y：你们这项工作在国际数学界和应用部门的反响相当大。就我看到的资料，国外的书评就不下 15 篇，引用就更多了。这项工作到底好在什么地方？

W：这个工作有些实际应用。国内在部队工作的一些朋友告诉我有用；在美国，得克萨斯的一位教授告诉我，他用我们的方法算过石油工业方面提出的一个五重积分。美国的标准计址局 (Burseau of Standard)，还有加拿大多伦多大学都在计算机上使用过我们的方法，证明它的实际效果是好的。应用数学要有用才行。

“应用数学是新兴的学科”

Y：我想你们这项工作无疑属于应用数学。怎样来评价一项应用数学工作呢，有没有什么标准？

W：我的看法不一定对，仅供参考。纯粹数学的历史比较长。如以 19 世纪初作为近代纯粹数学的发端，也有将近 200 年的历史了。在本世纪三四十年代，英国数学家 Hardy 发表一种观点，认为美的数学才有价值，才能流传于世。这代表了一种对纯粹数学的评价标准。数学的美倒底是什么？各人理解不尽相同，大家都用 elegant 或 beautiful 这些词来形容。我想本质就在于 simple，它是一种“简单”的美，而不是华丽的美。

应用数学就不同了，它是一门新兴的学科。本世纪初， 德国格丁根大学让 C. Runge 开一门课，叫应用数学。于是他就到处找方法，这个方法、那个方法，当作一门应用数学课来讲。

Y：从《希尔伯特》这本传记上知道，这大概是 1904 年的事。Runge 就是搞出 Runge-Kutta 方法的那位数学家吧！

W：不错。那时仅是一点点萌芽。二次大战期间兴起了一个运筹学，近代统计学大约在 30 年代或早一些时候出现在英国。所以，应用数学的历史我猜想只有半个世纪左右。

Y：我想你是说应用数学作为一门独立学科的历史不长。应用当然从古至今都有。

W：只是讲数学的应用，那是无所谓的， 事实上并没用到什么数学中真正重要的东西。Hardy 讲过一句绝话，没有应用的数学才是好的，好就好在没有应用。因为数学不是一个服务性行业，不能根据有用没用来判断它的好坏；否则它就没有必要独立存在了，就变成其它科学的附庸了。

“除优美之外，应用数学要真正能用”

W：应用数学现在还不完全成熟，没有形成一套国际公认的评价标准，分歧比较大。有人认为应用数学就是数学，这种观点恐怕不全面；有的人认为只要有用就好，也不完全。我想应用数学跟纯粹数学总有点差别。差别就是除优美之外，应用数学要真正能用。实际上，这两方面有紧密的联系。不美的东西太繁，用起来不方便或者根本没法真正去用。这是我们做积分近似计算、搞数值分析的指导思想。

Y： 我想坦率地问一句。1958 年你们开始这项研究，那时的特殊环境是否是你们选择这项应用课题的直接原因。

W：当时的形势希望数学家去搞跟实际结合的东西。但我们是权衡过利弊的。如果这个题目的永久价值太小，不管什么形势我们也不会干的。正是因为它符合刚才讲的两个条件，我们才可能丢下其它工作，全心全意地深入进去搞。

Y：就是说这并非是权宜之计， 随便找个应用课题搞搞。是否请你详细谈谈搞这项研究的学术背景。

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“牛顿本人就是积分近似计算的专家”

W：我们这项工作有一个具体模型， 就是算多重积分。积分近似计算的历史很悠久了，牛顿发明微积分，本来考虑的也是积分近似计算，因为能求出原函数的函数很少。牛顿本人就是积分近似计算的专家，搞出了一些经典的多项式插值公式来计算积分。在他之后，又有许多数学家得出很多公式，但都是用来计算单重积分的。多重积分即高维的积分，是没人去做的。为什么过去几个世纪都没人搞呢？因为即使搞出个方法也无法实现，没有高速电子计算机这种工具。足见数学这个东西并不是可以胡思乱想的。另一方面，多重积分随着维数的增加，其计算量的增长快得不得了；方法不好，即使计算机的速度再提高几个数量级，仍然算不了多重积分。所以好的方法变得特别重要了。计算方法的研究本质上是一种软科学，很多人也许还没注意到软科学的进步。

Y：多重积分的数值计算最早可以追溯到什么时候？

W：我想 von Neumann 和 Ulam 时代就开始了。他们用 Monte Carlo 方法。但这个方法粗得很。具体运用时大致只能算到三重积分，维数再高就不一定好算了。而数论方法可以把维数提高到十几维。

Y：你能不能极简要地说明一下数论方法的实质？

W：可以。Monte Carlo 方法是把一个分析问题（比如求积分值）变成一个概率问题，两个问题有同样的解。这样就可以用统计实验的方法来做这个概率问题，从而得到原分析问题的解。但统计实验是很粗的。我们能不能直接用确定性的方法来计算多重积分呢？而且要脱开古典方法一重一重来算的框架，直接从高维空间的整体出发来做。其关键是要在高维空间找出一组点列，分布得又非常均匀，是一致分布的。这不是统计意义下的一致分布，是按照 Hermann Weyl 定义下的分析意义上的一致分布。我们由实分圆域定义的一致分布点列出发，求出了它们的 discrepancy （偏差），这样可以精确地把误差估出来。

“华罗庚说，被王元拉上了一条路”

Y：用数论方法搞积分近似计算，你们是不是世界上第一家。

W：不是的。我们搞这项研究有点戏剧性。我最初看到苏联的一篇文章，表明苏联科学院的讨论班已在考虑这个问题，是 1958 年。我被这种新的方向吸引住了，拿着那份材料（关键就是一行公式）去找华老。

Y：你还记得是谁的文章？

W：记不准是 Коробов 的还是 Гнеденко 的，是篇通俗介绍材料，讲了积分近似计算跟 Monte Carlo 方法的关系，讲了伪随机数是服从一致分布的。他们用一个单和去逼近积分，而这个和是用一致分布点列构造出来的。那天华老很累，不想看。我说你就看这一行，行不行？他说，那好吧。一看，他就看出 Monte Carlo 方法实质上就是数论中的一种方法。华老说；“一层纸戳穿了，就那么一点点东西” (Monte Carlo 方法在当时还是比较新的）。此后，他对这个问题就很有兴趣。所以华老后来说是被王元拉上了一条路。

Y：这么说，你先看到的文章还不是正式的研究论文！

W：实际上 Коробов 在 1957 年巳发表了数论方法用于近似计第的第一篇理论文章[2] 。我们也是在 1958 年看到的。他的方法用了完整三角和，但不太精密。我把这篇文章给华老看了。完整三角和是华老在纯粹数学方面的最大贡献。苏联人不是用 Виноградов 的三角和，而正是用他的完整三角和在数论与积分近似计算之间搭了座桥。他确实很高兴。

Y：看来，你们和苏联数学家要展开，一场竞争了。

W：Коробов 比较好的方法是 1959 年发表的。这个方法从应用数学的角度看有一点差劲，计算量太大。从纯粹数学的眼光看它确实是构造性的，但从应用数学的眼光看，它还是偏于存在性的。它的适用范围似乎也比较小。

我们的第一项成果也是在 1959 年得到的，1960 年发表在“科学纪录”上。对二重积分我们得到了一个完美的逼近公式。

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“华老在数学上最强的是直觉 “

Y：你们的研究路子跟苏联人有没有差别？

W：我们的问题和目标很明确， 就是要找一种直接的方法，能比较快速地找出一组点，适用范围要尽可能的大。华老根据他的直觉，认为确定计算二重积分的点，即平面上的点，用 Fibonacci 序列和黄金分割就能得出来。我按他的想法去证，只用两页纸就证出来了。日本数学家弥永昌吉在即将发表的一篇纪念华罗庚先生的文章中写上了这个公式，称它是elegant。这个公式到今天仍在实际中使用。

苏联学者则是搞了很复杂的理论，绕了较大的圈子，最后才推出二重积分可用黄金分割去做。一比较，证明华老的直觉很强。

下一步，在向更高维扩展时，Fibonacci序列怎么推广？华老又凭他的直觉，认为应该是分圆域。他觉得从分圆域的单位出发，就可以找出均匀分布的点列。后来证明他的这个想法是对的。但当时我们两个都有一种弱点，因为是搞纯粹数学出身，把逻辑推导当成唯一的手段。他的直觉，在二维情形很容易证明，高维则不然了。他搞了半年多，证不出来，于是就放弃了。那是 1959 年里的事。

Y：关于华老在解决二维问题前的直觉，你能不能说得细一点。

W：当时巳把问题归结为一个很简单的提法，即如何找一个多变数线性齐次同余式，使它在尽可能大的区域内没有非零解。由此他猜出二维时可以用 Fibonacci 序列。很多跟他来往的人认为，华罗庚先生最大的特点、最强的能力是逻辑推导和计算能力。事实上这并不是最重要的。你算得快、推导能力强，你一个月能干成的，人家多用点时间，比如三个月也能干出来。我感觉到他最强的是直觉力，这种本事就不是多花点时间和精力能做得到的。

华老的第二个特点是搞什么都用直接方法，把问题提明确，然后用单刀直入的办法来对付它。这使他能在很多领域搞研究。

“走头无路，我用了模拟的方法”

Y：华先生搁下这个课题后，你怎么办？

W：我觉得还是不应该放弃。在走头无路的情况下，我决定把逻辑推导的手段彻底丢掉，而采用应用数学的办法，就是所谓的 simulation （模拟）。

用模拟方法，就是利用分圆域搞出一个高维的计算程序，没有证明，对不对不知道，然后直接上计算机去算。当初苏联西伯利亚分院为 Колмогоров 的方法编制过计算表，该表的点数上界是 10 万，维数达 10 维。我的想法是试图用计算机找出一组 11 维空间的点列，超出苏联学者的表的范围。即使得不到理论上的结论，我们也可能给出一种算法。

Y：这种搞法跟你以前搞的纯数学研究相距十万八千里了！

W：确实。这时，我们只要在高维空间中找出一组点列，分布得非常均匀就够了。而纯粹数学就要求研究所有这类点列的共性，只找出一个例子是不行的。两者截然不同。

经过差不多四年的努力，到 1963 年，终于把这个程序搞了出来。接着就请计算所的同志上机算（我记得数学所还付了 200 元计算费），他们帮了我很大的忙。我们算了个 11 重积分，使用的点数百万计。它的精确度用计算机硬估出来（函数类确定后，可算出误差的上界）。

我把这个结果给华老看，用的基本思想还是他提出的那个。1964 年， 我们合写了一篇短文，在《科学通报》的成果简报栏发表了。1965 年， 我们正式在《中国科学））上发了一篇文章，把那个程序从纯数学的角度推广了一下；实际上没什么新东西，只是把分圆域推广到一般域。这两篇文章最后都是华老定稿的。

有一点需要说明，应用数学的另一特点恐怕是不能说一个方法什么都好。我刚才给我们的方法说了太多好话。所以我还要补充说明一点， Колмогоров 的方法虽然繁， 但精度比我们的高一些，这是他的方法的优点。

Y：我看到美国数学会的 Bulletin (1983 年 5 月号）上有关于你们的方法的长篇评论，说在许多情形中，你们的方法”以最少的计算批得到最精确的结果”。评价还是不错的。你们的这项工作就此结束了吗？

W：后来文化革命，没法搞了。实际上这时我们的工作仅遗留下一个尾巴，还没从理论上阐述清楚这个方法的精度。不过，从实际应用的角度考虑，理论的证明也许没用，因为理论上的误差往往偏大，要让误差趋于零，点数就得趋于无穷才行。

Y： 从完整的角度看，理论证明还是有意义的。

W：作为—个科学问题来看是有意义的，但从应用讲没什么意义。

“国际数学家大会曾邀请华罗庚作报告”

W：1972 年廖承志先生带了个代表团访问日本，华老是代表团成员。在日本时，当地学者告诉他我们的数值积分方法非常成功，给了他一本刚刚开过的学术会议的论文集 (1972 年时国际上的学术会还不象现在这么多）。在这次学术会上专门讨论了我们的方法，用二三十页的文章阐明我们那篇小小的研究简报，并在 S. Haber 的文章中第一次把它称为华－王方法。

Y：那时还在文化革命之中，你们听到这个消息作何感想？

W：华老回国后给我打了个电话，要我去找他，说有一个很好的消息要告诉我。我去了，他给我看了刚才说的论文集。我真没想到一个研究简报已在国外受到这样的重视。所以很想在理论上加紧搞一搞。可是要达到理论上完整需要一条大定理，它的难度有点像证 Riemann 猜想。就是要把 Roth 定理推广到高维。

Y：请你简单介绍一下 Roth 定理。

W：Roth 在 1958 年获 Fields 奖。获奖工作是代数数的有理逼近，给出了最好的下界是什么。如能把这条定理推广到高维空间，我们的理论问题就全解决了，因为分圆域的基就是一大堆代数数。Roth 在得奖时说他对二维的情形就毫无办法，对高维几乎无法想象它是对的。Roth 定理起源于 Liouville 的工作，很多大数学家搞过，如 Thue, Siegel，Гельфонд， Dyson， 都只是对 Liouville 定理作出一些实质改进，直到 1955 年 Roth 才得到最佳结果。使我们最后成功的转机是 1970 年出现的，这也是运气，W. Schmidt 居然证明了 Roth 定理在高维的推广。他不愧是当代最大的数论专家之一。

Y：看来，你们这项工作快接近尾声了。

W：我是在 Acta Mathematica 上看到他的连载文章的，加起来有 100 页。我就把它用上来，我们的理论完整了。写的三篇文章华老都仔细看了，是对的。1973-1975 年先后发表了这三篇文章。这是我们五六十年代工作的继续。

有一件事国内可能很少人知道，就是 1974 年在温哥华召开的国际数学家大会曾邀请华老去做演讲，愿在大会上做或在专题组上做都行，题目自选。但我们知道多伦多大学很重视积分近似计算这个课题，他们直接上机做过大量计算。华老本人很愿意去讲，想讲的内容也是这项成果。他曾要我帮他写一个讲稿。后来因上面没批准而没能成行。四年后的陈景润和八年后的冯康先生，也都因同样原因没能接受国际数学家大会的邀请去作报告。


(a)《哥德巴赫猜想》; (b)《数论方法在数值分析中的应用》; (c)《统计中的数论方法》; (d)《王元论文选集》。

Y：你们那本《数论在近似分析中的应用》是什么时候动笔的？

W：数学工作就是这样，做完了就写书，好留传下去。我们还要编出实用的表，象三角函数表那样，用起来方便。文化革命结束前我们就开始写了。我请徐广善和计算所的张荣肖两位，利用计算所百万次的计算机算（这次因有张荣肖直接参与，数学所就不用花钱了），把 18 维以内的表都编成了。1977 年书完稿。1978 年出中文版，后来 Springer 很积极要出，他们拿到英文稿后，改都没改就发排出版了。

Y： 我看到的书评说，该书英文版有些本来可以避免的缺点，比如书中没有 index（索引），有些译文有点毛病，还有印刷错误没校对出来。看来他们急于出书带来了点遗憾。

W：还有些情况要说明。我们的书出版前，曾在 1961 年以“积分的近似计算”为名，出了一个通俗小册子，何祚庥先生看后很欣赏，还专门写了一篇书评（评“积分的近似计算”一书，兼论多重积分计算方法，《科学通报》1963). 1963 年又出了该书的修订本，并改名为“数值积分及其应用＂，冯康先生又写了一个很长的评论（未发表），以后冯康先生又要我为《中国大百科全书》写一个一千多字的条目，考虑到我们的课题在整个“近似分析＇，中只占一点点，所以我写了一个约五百字的条目，而且包括了 Колмогоров 的工作。徐利治先生在他写的关于数值积分的书中，也把我们的工作列为一章。对于国内同行的鼓励，我们一直很感激。

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“我喜欢音乐和游泳，不是什么时间都用来读书”

Y：现在请你谈谈你在中、小学的表现好吗？

W：我上小学时赶上抗日战争，小学总共只读了三年。有一段时间是在往四川逃难的路上度过的。后来在重庆远郊的一所农村小学读了些日子的书。我记得那是座庙，条件很差。幸亏父亲帮了不少忙，给我补习语文和算术。12 岁小学毕业。

Y：你上的是哪所中学？

W：原来四川教育比较落后，没几所好中学。后因抗战，江苏及其它一些地方的学校迁到了四川。当时有两所中学名气大，一是中央大学附中，一是由扬州中学迁川后改建的国立二中。我考取了国立二中。我不是对所有的功课都感兴趣，学得比较好的是英文和数学，其它课的成绩只有中上水平。另外，我喜欢音乐和游泳，所以，不是什么时间都用来读书。抗战胜利时我正好初中毕业。高二时复员到南京，上的社会教育学院附中（后来的南京六中）。整个中学阶段，我是个中上等学生，所以没考上很好的大学。

Y：哪年考的大学？考上了哪所大学？

W：1948 年考的。因总成绩不算好，只考取了英士大学[3]和安徽大学两个学校。我去了英士大学。这下运气又来了，解放后这所学校并入浙江大学，我就“混入”了浙大。顺便说一句，我对入学以总分取人始终不大赞成！

Y：浙大对你最大的影响是什么？

W：浙大当时的数学系在国内是相当好的。有陈建功、苏步青先生，以及其他很多先生，如张索诚，徐瑞云，卢庆骏，白正国，曹锡华等。浙大的优点有两条。一是它很重视培养学生的逻辑推导能力，几乎所有的考试题目都是证明书上的定理。你把这些定理的逻辑结构真正搞清楚了，考试就能得 100 分。我们接受了这方面的严格训练。二是在四年级时有个学生的讨论班，老师指定一些论文和书，由学生上台去讲，使学生学会自己看书读文章，这是开展独立研究的第一步。

Y：你还记得当时啥的主要课程吗？

W：记得。我是二年级到浙大的，有一门课叫级数概论，搞清了 ，一致收敛.....

这是浙大分析课中的精华。三年级开了复变函数，按 Titchmarch 的书教，重视演算。四年级上实变课，教了实数理论，什么 Lebesgue 积分， Cantor 的集合论初步。分析是浙大最强的。此外，几何训练在浙大也比较重视。解放后还开了几门新课：初等数论、拓朴学和概率统计。我觉得这些内容到毕业后确定了专业再学也无妨。

Y：你是哪年大学毕业的？怎么到的中科院数学所？

W：大学四年，1952 年毕业，经统一分配到了数学所。应该说我运气非常好，到了一个数学中心，到了大数学家华罗庚先生身边。当年科学院要了四名数学系毕业生，浙大两名，北大、清华各一名。浙大经陈建功和苏步青先生推荐派了我和孙和生。清华来的是许孔时，北大毕业生是何善唷。数学所 1952 年 7 月成立，我是 10 月份到所的。

“跟着华老工作的最大好处是……”

Y：你是不是一到所就跟华罗庚搞课题？

W：华罗庚先生曾是数学所筹委会的副主任，正式建所时出任所长。他对建设数学所有个设想，先把数论组和微分方程组搞好，然后一个组一个组地建立其他学科组。我正好碰上他着力建设数论组，参加了他主持的两个讨论班，一个是他讲数论导引，一个就是 " Goldbach 猜想“讨论班。实际上，除积分近似计算外，我从来没跟华老搞同样的课题。

Y：华老对你的主要影响是什么呢？

W：我学他怎么进行思维，这个很重要。前面已说过他的直觉力很强，他还特别善于启发人，善于所谓的 Heuristic method. 他在搞问题时常让你看一看他的问题和思路。不管多复变也好，代数也好，别的科目也好，他讲出来的问题你都听得懂。处理间题又基本上都是白手起家。你可以看得出来他怎样思考这个问题。他常常在问题处理以前先有个框图，框图中的目标实现得了实现不了并不完全知道，但他有这么个东西。这是从大数学家那里最难学到手的一招。在把每一步证明严格化以前，他总是先进行概算，这时不管严格性，往前跳得很多。我慢慢领悟到他的直觉力和搞框图的路子。他的有些学生没在这方面花功夫，就吃了一点亏。

Y：请谈谈那两个讨论班上的情况？

W：数论导引后来出了书，其实就是他的一个讲义。他从头到尾讲，最后有许多章节只讲个大概，由学生详细写成文，这对学生是很好的训练。他写数论导引相当有眼力。早年在美国时他曾想写一本解析数论的书，据说书的广告都已经贴出，后来他放弃了。现在看来他放弃得对。因为解析数论当时正在发展，你写好还未出书就可能过时了，很多重要结果补不进去。而《数论导引》选的材料都是经典的，不大会过时，中文本出了 30 年之后还被译成英文出版。

还有 “Goldbach 猜想” 讨论班。他为什么选这个问题，因为它跟解析数论的方法有全面的联系。把一个个方法搞透，掌握方法的核心，对解析数论也就明白了。他原先并没想到要去改进以前的结果。

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“…如果再进不了的话，你这辈子也就这样了…”

Y：你是在这个讨论班期间证明的“2 + 3”吗？

W：讨论班搞到筛法时，我们就把国外原有的结果改进了，讲起了我们自己的东西。

我是从 1954 年开始考虑的，1955 年就做出了“3 + 4” , 1956 年继续改进，除了“2 + 3 ”， 还在 Riemann 猜想下证出了“ 1 + 3”.

Y：做出这个结果后的心情怎么样？当时你还很年轻吧！

W：26 岁。当时很激动，首先希望快点发表，让中国人占个先。我很快给科学通报写了个 note , 华老推荐一下就发表了。这项成果在当时数学所内被认为是最好的，国内也宣传过；听说苏联塔什干的青年报也登过介绍文章。后来潘承洞跟着做， 证出“1 + 5”和“1 + 4 ”，陈景润做出“1 + 2” 。以后别人再做不出更好的结果了，除非证掉 Goldbach 猜想。

Y：看来你开的这个头还是很有意义。你当时的成功肯定鼓舞了不少搞数学的青年。

W：华老当时说本没想到你们能在这方面有所突破。我做出“2 + 3”后他曾对我讲：

你要能再进一步就好了，如果进不了的话，你这辈子也就这样了。这也让他说中了，我以后在攻难题方面并无进步。（笑声）

Y：我记得 Von Neumann 好象说过数学创造的最后年龄是 26 岁，巧合！不过，他后来把这个上限又提高了。我还想请你说说当时讨论班上的气氛。

W：我觉得我们讨论班上的年青人，还不是中国数学素质最高的青年，只是索质比较高的。如果当时的政策更宽一点，能象华老到厦门大学去选陈景润那样，允许在全国范围不断选拔人材，这个讨论班也许能搞得象英国的 Davenport 讨论班那样出几个 Fields 奖得主。

不过话又说回来，我们当时确实是拼命干的，为建设好社会主义，忘我劳动，根本没去想个人的升级升职，只是一心一意搞数学。在这个集体中，大家齐心协力帮华老把数论导引写好。说句公平话，能写成《数论导引》，华老的功劳也许是 60% 或 70%，其他学生加起来是 40%或 30%，而我们这些学生谁也没计较自己要不要挂名。这是解放初期的大气候，不光我们，谁不这样！

Y：你提到了英国的 Davenport 讨论班。对你们的讨论班很有点惊惜，能不能谈谈你的抱憾？

W：谈起这件事很痛心，晓得吧！H. Halberstam 在一篇悼念华老的文章中提到，华罗庚和 Davenport 在圆法与三角和估计方面，是仅次于 Hardy、Littlewood 和 Виноградов 的人物。就做出历史上站得住脚的成果而言， 华老也许更强。Davenport 的面也很广，总的说两人在数论方面处于同一水平。可是，他的讨论班出了 K.Roth, A.Baker; Bombieri 也受他影响。三个 Fields 奖得主。而华老的讨论班过早夭折，事实上到 1957 年后就不允许他正常地搞下去了。他的讨论班刚在数论方面做出点成绩就给轰掉了。我跟他以后的合作只是一种私人间的关系，没有组织上的联系了。

Y：国家如果一直处在安定的环境下，中国今天数学界的面貌恐怕不会是现在的样子。

“把 Schmidt 的那套东西推广到代数数域”

Y： 你 l957 年做完 Goldbach 猜想方面的工作， 1958 年到 1975 年又完成了积分近似计算的研究它们分属纯粹数学和应用数学领域，下面往什么方向搞呢？

W：上面两项工作方向不同，时间上衔接得很紧。从 1975 到 1980 年，我只是东碰碰、西撞撞，接不上一个大点的间题。1980 年我随数学家代表团访美，知道 W.Schmidt 非线性丢番图分析极其成功。我又记起华老在我刚毕业时跟我谈起的事，他对 Siegel 代数数域上的丢番图方程及华林问题的工作很欣赏，认为我们应该搞代数数域上的不定方程。这两个信息碰到一起，我就考虑能不能把 W. Schmidt 的这套东西推广到代数数域上去, 终于找到了一个好的方向。做到 1985 年，主要结果都得到了，我写了三篇论文，结果好不好不知道，没拿去发表。1985 年我到普林斯顿高等研究院工作一年，正巧 W. Schmidt 也在那里。他看了我的手稿。这个人的加 intuition 也非常强，他看后已经猜出我这项研究的最后形式应是个非线性丢番图不等式组，而且对不能嵌人到实数域里的代数数域能证出来。我在普林斯顿的第二个学期证出了他的这个猜测。他的预见果然是对的。天才大概就表现在这些地方。我在这方面的研究成果已写成书，1991 年春将面世，由 Springer 出版社出版。

从普林斯顿回来差不多又五年过去了，始终没什么好的想法。

Y：你最近在积极组织密码讨论班，参加的人很多。是不是想在这方面有所作为？

W：我并没有什么 idea 去搞编码研究，只是想利用我目前的位置去推动一下。密码学可以说是最早形成的数论的应用分支，数值分析也许可以说是在它之后的又一个数论应用分支。密码学比较古老，最近由于技术的进步，面貌变化比较大，我认为我们应该趁现在的形势跟上现代发展的步伐，这对整个国家都很重要。普林斯顿高等研究院 1990-1991 学年的中心课题就跟密码学有关。要注意这个动向。

Y：现在有人提出这样的看法，数论是最基础的，也是最有用的。这个讨论班如能坚持下去，有出色的年青人上来。你的推动说不定对中国的数学事业能起些作用。

W：美国贝尔公司理论研究部主任 R. Graham 在 1990 年的一次公开讲演中说，数论过去认为是最没用的东西，现在数论成了所有数学学科中最有用的学科。

Y：你今后的打算能谈一点吗？

W：现在想得到的有几件事可以做。一是和应用数学所方开泰他们一起把数论方法用于统计研究；一是写华罗庚传，实际是一种回忆录性质的东西[4]。我在当数学所所长和数学会理事长期间，的确是尽了很大的力量，但效果现在很不好说，很多事情很难做。

除上面两件事之外现在想不出还该干些什么。

Y：学术研究方面的前景呢？

W：我想不会再做出什么了，不会再有一次青春年华。要干年轻时做的事要多大的工作量呀，现在这个年龄吃得消吗？

Y：真的谢谢你十分坦率的交谈。

注释：

[1] 陈嘉庚奖分“生命科学奖”、“农业科学奖 ”、“物质科学奖”、“技术科学奖”、“医学科学奖”、“地学科学奖”等六项。从 1988 年始每年颁发三项（无适当颁奖对象，可空缺某项）。第一届颁发了物质、技术和农业三项奖，第二届颁发其余三项，以后照此轮流颁奖。该奖评委会主任是周光召。奖金额为每项三万元。

[2] Н.М.Коробов, Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов Теории; чисел, Докл. АН СССР, 115(1957), 1062-1065.

[3] 以陈英士命名的大学。陈英士，浙江吴兴人 1906 年入同盟会。1914 年参加中华革命党，1916 年被袁世凯收买张宗昌派人刺死于上海。

[4] 笔者在王元教授处见到了华罗庚先生给王元的亲笔文字，内容是华老对写他的传记的若干条建议。其中关千积分近似计算的研究情况，华老写着“被王元拉上了一条路”。