直角 ΔABC 斜边 BC=a，BC上高 h，BC 中点 O∈[P,Q]，PQ=a/n，求 lim(n→∞)ntan∠PAQ

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王守恩

利用三角函数解题。
\(记BC=1,AB=\sin(\theta),AC=\cos(\theta),AH=\sin(\theta)\cos(\theta),HB=\sin^2(\theta)\)
\(\displaystyle则\lim_{n\to\infty}n\tan∠PAQ=2\sin(2\theta)\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-5-19 07:45
利用三角函数解题。
\(记BC=1,AB=\sin(\theta),AC=\cos(\theta),AH=\sin(\theta)\cos(\theta),HB=\sin^2(\ ...

接3楼。\(n=2k+1,k=1, 2, 3, 4, ...\)

\(\displaystyle记∠ACB=\theta,BC=1,AO=\frac{1}{2},PQ=\frac{1}{2k+1},OP=OQ=\frac{1}{2(2k+1)}\)

\(\displaystyle(AP)^2=(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2(2k+1)})^2-2*(\frac{1}{2})*(\frac{1}{2(2k+1)})*\cos(2\theta)\)

\(\displaystyle(AQ)^2=(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2(2k+1)})^2+2*(\frac{1}{2})*(\frac{1}{2(2k+1)})*\cos(2\theta)\)

\(\displaystyle\cos∠PAQ=\frac{(AP)^2+(AQ)^2-(PQ)^2}{2*(AP)*(AQ)}\)

\(\displaystyle(2k+1)\tan∠PAQ=\frac{(2k+1)\sin∠PAQ}{\cos∠PAQ}=\frac{4k^2+4k+1}{2k^2+2k}\sin(2\theta)\)

\(\displaystyle即：\lim_{k\to\infty}(2k+1)\tan∠PAQ=2\sin(2\theta)\)