求 y=x^(-2) 从 -∞ 到 +∞ 的积分

Toyarth

论坛新人，latex符号不太会操作。下面是我的问题，思路和困惑。
问题：求y=1/x^2在(-∞,+∞)的面积。
首先是惯性思维解法：
因为函数在0点存在断点，所以积分分两部分积，(-∞,0)和(0,+∞)
又因函数关于y轴对称，不定积分是y=-1/x，区间(0,+∞)的面积=[-1/x](0,+∞)=(-1/+∞)-(-1/0)=0+∞=+∞，总面积=2*(+∞)
到这里就发现不对了，突然发现函数在0点也是发散的，于是又想出了另一种奇怪的解法：
首先求函数在区间(1,+∞)的面积，y=∫(1,+∞) 1/x^2 dx=[-1/x](1,+∞)=(-1/+∞)-(-1/1)=0+1=1，
观察函数图像，发现函数在(0,+∞)的函数关于直线y=x对称，证略，
于是将函数在区间(0,+∞)的面积分成了三部分：1.在x轴(1,+∞)的面积，2.在y轴(1,+∞)的面积，3.从点(0,0)到点(1,1)的小正方形的面积。
第一部分的面积是1，第二部分根据对称（？），面积也是1，第三部分的面积也是是1，
于是，函数在区间(0,+∞)的面积=1+1+1=3，总面积=3+3=6？？？？
于是我就很困惑了，很明显我的解法有问题，但不知道哪里出问题了，请各位前辈指导纠错，顺便求解以下正确解法。

luyuanhong

Toyarth

luyuanhong 发表于 2021-5-20 08:23

谢谢陆老师解答！